記号

　μ＝０、１－４

　ｊ、ｋ＝１－４

　ｉ：虚数単位

　σμ：パウリ行列　μ＝０、１－３

　ｍ：質量

　ｃ：光速

　ｈ（＝２π）：プランク定数

　＠：直積

　Ｘμ：四元位置ベクター　　Ｘ０＝ｃ・ｔ

　Ｐμ：四元運動量ベクター　Ｐ４＝m・ｃ

　Φn：n元スピナー 

　Φ4￥＝（Φ0 Φ1 Φ2 Φ3）　　　￥：転置記号

　∂μ≡∂／∂Ｘμ

｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ：反交換関係

ρ0 

＝σ0@σ0

＝（σ0　０

０　σ0）

ρj 　　ｊ＝１－３

＝σ1@σj

＝（０　σj　

σj　０）

ρ４ 

＝σ３@σ0

＝（σ0　０

０　－σ0）

｛ρj，ρk｝＝０　（ｊ≠ｋ）

｛ρ0，ρk｝＝２ρ0

　ρjρj　　＝（ρj）2＝ρ0

±ρ0Ｐ０Φ4＝ρｊＰｊΦ4

  Ｐ０Φｋ＝ｉ∂０Φｋ　　　　　　ｋ＝０、１－３

　ＰｊΦｋ＝－ｉρｊ∂ｊΦｋ　　　ｊ＝１－３

　Ｐ４Φｋ＝（ｍ・ｃ）Φｋ

±ｉρ0∂0Φ4＝－ｉρｊ∂ｊΦ4＋ρ４Ｐ４Φ4

Ｘ：「ディラック氏は、

　（ρ0Ｐ０）2－（ρｋＰｋ）2

＝（ρ0Ｐ０－ρｋＰｋ）・（ρ0Ｐ０＋ρｋＰｋ）

　という因数分解を思いついたんだ。」

Ｐ：「空中分解よりも凄い！」

σ：「ところで、直積＠って何？」

ρ：「σｊ@σkは、σｊの中で１の場所にσkを入れ込んだものだよ。

　　　パウリ行列は２行２列だから、４行４列に拡張されるのさ。」

＠：「σ２@σ１は、σ２の中で－ｉ、ｉを、－ｉσ１、ｉσ１に置き換えればいい。」

∂：「ベクターとスピナーは？」

σ：「例えば３成分のベクターは、仲良しダンゴ３兄弟ってこと。

　　　スピナーはふつう２成分だから、婚姻関係みたいなものさ。」

Φ：「おかげで、ぼくは４成分になった。」

ｈ：「粒子の夫婦Φa と、反粒子の夫婦Φb。」

 　Φ4￥＝（Φa Φb）

Φa￥＝（Φ0 Φ1）

Φb￥＝（Φ2 Φ3）

±σ0Ｐ０Φa＝σ0Ｐ4Φa ＋ σｊＰｊΦb

±σ0Ｐ０Φb＝σｊＰｊΦa － σ0Ｐ4Φb

σ0（Ｐ０－ｍ・ｃ）Φa＝σｊＰｊΦb

σ0（Ｐ０＋ｍ・ｃ）Φb＝σｊＰｊΦa

μ＝０，１－４

Ｊ＝０，１－３

Ｘμ：　５元位置ベクトル

Ｐμ：　５元運動量ベクトル

ｋμ：　５元波数ベクトル

ημν：　計量ベクトル

ｈ：プランク定数

ｍ：質量

λｃ＝ｈ／（ｍｃ）：コンプトン波長

（Ｘ0）^2＋（Ｘ1）^2＋（Ｘ2）^2＋（Ｘ3）^2＝（Ｘ４）^2　≦　（λｃ）^2

　↓

（Ｘ0）^2－（Ｘ1）^2－（Ｘ2）^2－（Ｘ3）^2＝（Ｘ４）^2

場ψ（Ｘｊ，Ｘ４)の周期的境界条件

　ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝ψ（Ｘｊ，Ｘ４＋λｃ)

　ψ’（Ｘｊ）exp（ｉ・ｋ4Ｘ4)＝ψ’（Ｘｊ，ｉ・ｋ4（Ｘ４＋λｃ）)

　　ｋ4・λｃ＝２πｎ（自然数）

Ｐ4＝（ｈ／２π）・ｋ4

　＝ｎｈ／λｃ

  ＝ｎ・ｍｃ

（Ｐ0）^2－（Ｐ1）^2－（Ｐ2）^2－（Ｐ3）^2－（Ｐ４）^2＝０

　　i∂μψ＝Pμψ

　ｎ・ｍｃψ＝P４ψ

　ημν∂μ∂νψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０

　（－∂0∂0＋∂a∂a－（ｎ・ｍｃ）^2）ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０　：ａ＝１－３

　（□＋（ｎ・ｍｃ）^2）ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０　　：Ｋ－Ｇ方程式

　　　ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝Σn ψ’（Ｘｊ）exp（ｉ・ｋ4Ｘ4)

Ｐ４：「この世界が５次元になるということは考えにくい。

　　　　僕が飛び飛びのｍｃになるなんて。」

ｍ：「僕は、ちゃんと表に出られるから気にしなてないけど。」

Ｘ４：「わたしがコンパクト化されてるなんて、誰が言い出したの？」

λｃ：「君が縮んだんじゃなくて、他のＸが膨張しただけだよ。

　　　　粒子のエネルギーがコンプトン波長くらいの距離内に押し込まれると、

　　どの方向でもｋ＝（２π／λｃ）ｎになって量子化されるんだ。」

ψ：「つまり、ｍｃの２乗に、たかだか４個のｎの２乗値の和を掛け算したものになるってことか。」

  （Ｐ0）^2＝（ｍｃ・ｎ1）^2＋（ｍｃ・ｎ2）^2＋（ｍｃ・ｎ3）^2＋（ｍｃ・ｎ4）^2

           ＝（ｍｃ）^2・(（ｎ1）^2＋（ｎ2）^2＋（ｎ3）^2＋（ｎ4）^2)

ｈ：「4平方の和の定理というのがあって、自然数Ｎは多くても４つの２乗数に分解できるそうだ。」

Ｐ0：「ってことは、僕はｍｃ・√Ｎなんだ。」

Ｎ：「１が最低値のとき。」

ｃ：「あのー、僕はｍ＝０なんですが・・・」

ｍ：「貴方はＸ４につかまらないから、お誘いがないのよ。」