記号
μ=0、1-4
j、k=1-4
i:虚数単位
m:質量
c:光速
h:プランク定数(=2π)
τ:固有時
Xμ:四元位置ベクター X0=c・t
Pμ:四元運動量ベクター P4=m・c
Φn:n元スピナー
Φ4¥=(Φ0 Φ1 Φ2 Φ3) ¥:転置記号
[A,B]=AB-BA: 交換関係
{A,B}=AB+BA:反交換関係
idAμ/dτ=i∂Aμ/∂τ+[Aμ,(P0)^2/(2m)]
idXμ/dX1=[Xμ,P1]
idXμ/dτ=(dX1/dτ)[Xμ,P1]
dX1/dτ=P1/mより
idXμ/dτ=[Xμ,(P1)^2/(2m)]
Ex) ディラック方程式 ±ρ0P0Φ4=ρjPjΦ4
idXν/dτ :ν=1-3
=[Xν,(P0)^2/(2m)]
=([Xν,P0]P0 + P0 [Xν,P0])/(2m)
ここで[Xν,P0]=[Xν,ρjPj]=ρj[Xν,Pj]=iρν
より
=i(ρνP0 + P0ρν)/(2m)
=i{ρν,P0}/(2m)
=i{ρν,ρj}Pj/(2m)
{ρν,ρj}=2δμjより
=Pν/m
Cf)
Pν=mdXν/dτ
=(m/i)[Xν,(P0)^2/(2m)]
=(1/2i){[Xν,P0],P0}
=(1/2){dXν/dX0,P0}
X0:「ハイゼンベルグ方程式は、四元ベクターの式じゃないの?」
P0:「僕の自乗はスカラーじゃないから、ローレンツ不変でない。」
Φ4:「スカラー?」
τ:「この世界の一匹オオカミのことさ。」
m:「Pμだけじゃダメだ。僕が入らないと。」
δμj:「僕のことは紹介がないんだけど?」
ρν:「いいんだよ、君は有名なんだから。」
単位系
h=2π
c=1
P:運動量
E:全エネルギー
V:ポテンシャルエナジー
m:質量
π:円周率
一次元シュレーディンガー方程式
(m+P2/(2m)+V)ψ=Eψ
Pψ=-ⅰ∂1ψ=-ⅰdψ/dx
V=∞ (x<0,x>L)
V=0 (0≦x≦L)
ψ∝exp(i・k・x)とおくと、
(m+k2/(2m)+0)ψ=Eψ
∴k=±√(2m・(E-m))
ψ(x)=A・exp(i・k・x)+B・exp(-i・k・x)
境界条件 ψ(0)=ψ(L)=0
A+B=0 から B=-A
A・exp(i・k・L)+B・exp(-i・k・L)
=A・(exp(i・k・L)-exp(-i・k・L))
=A・2i・sin(kL)
=0
∴k=nπ/L (nは整数)
波数k=2π/λ:波長 より (λ/2)・n=L (定在波)
E=m+k2/(2m)
=m+(n・π)2/(2m・L2)
群速度:dE/dP
=P/m
=nπ/(mL)
位相速度:E/P
=(m+(nπ)2/(2m・L2))/(nπ/L)
= m・L/(nπ)+(nπ)/(2m・L)
≧2√(1/2)=√2[・c]
ψ:「無限に深いポテンシャル井戸に嵌ったカエルは、連続的にジャンプできない。」
E:「井の中の蛙、大海を知らず、ってコトバがあるよ。」
V:「その蛙は、だた空の高さを知る。」
P:「大海の方が、井戸よりも深いんじゃないの。」
m:「暗すぎて何も見えなってことさ。」
cf) クライン-ゴルドン方程式
P0^2ψ=(P^2+m^2)ψ
ψ∝exp(i・(ω・x0+k・x1) ) :x0=t
ω^2=k^2+m^2
k=±√(ω^2ーm^2)
E=ω=±√(m^2+(nπ/L)^2)
dE/dP=dω/dk=k/ω
E/P=ω/k
記号
φ:波動関数、スカラーの状態関数
U=exp(iρG) :ユニタリー群 パラメータρ ジェネレータG
UU-1 =U-1U =I :恒等変換
i :虚数単位
∂μ:∂/∂xμ
S系
∂μφ=0
S'系
U∂μU-1Uφ=0
φ'=Uφ
∂'μ=U∂μU-1
=UU-1∂μ+U(∂μU-1)
=∂μ+iUU-1(∂μρ)G
=∂μ+i(∂μρ)G
∂'μφ'=0
Ex)
ρ=xν :4元位置ベクタ
G=Pν :4元運動量ベクタ
のとき
∂μρ=∂μxν =gμν
∂'μ=∂μ+igμνPν=∂μ+iPμ
∴(∂μ+iPμ)φ'=0
∂μφ'=-iPμφ'
i∂μφ'=Pμφ'
φ:「ダッシュ記号を外して、
i∂μφ=Pμφ
としよう。」
∂μ:「この複素共役は
-i∂μφ*=Pμφ* 」
Pμ:「僕は、Pμ=Pμ* 」
G:「Schrödinger方程式は1組でないといけないね。」
U:「静止座標系で、
i∂0φ=mφの場合
運動座標系ではどうなるかな?
ρ:「i∂0φ=(P0+m)φ
P0=(1/2)(Pj)^2/mとおくと、よく知られた式が出る。」
G:「ρ=θμν :6元角度・ラピディティテンサ
G=Lμν :6元角運動量テンサ(ローレンツジェネレータ)
のとき
回転なしの系では∂φ/∂θμν=0とする。」
ρ:「θμν=-θνμ
Lμν=-Lνμ
で反対称テンサだよ。」
G:「回転系では、
(∂/∂θμν+iLμν)φ'=0
i∂φ'/∂θμν=Lμνφ' 」