量子のツブヤキ
カルツァ－クライン理論
μ＝０，１－４
Ｊ＝０，１－３
Ｘμ： ５元位置ベクトル
Ｐμ： ５元運動量ベクトル
ｋμ： ５元波数ベクトル
ημν： 計量ベクトル
ｈ：プランク定数
ｍ：質量
λｃ＝ｈ／（ｍｃ）：コンプトン波長
（Ｘ0）^2＋（Ｘ1）^2＋（Ｘ2）^2＋（Ｘ3）^2＝（Ｘ４）^2 ≦ （λｃ）^2
↓
（Ｘ0）^2－（Ｘ1）^2－（Ｘ2）^2－（Ｘ3）^2＝（Ｘ４）^2
場ψ（Ｘｊ，Ｘ４)の周期的境界条件
ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝ψ（Ｘｊ，Ｘ４＋λｃ)
ψ’（Ｘｊ）exp（ｉ・ｋ4Ｘ4)＝ψ’（Ｘｊ，ｉ・ｋ4（Ｘ４＋λｃ）)
ｋ4・λｃ＝２πｎ（自然数）
Ｐ4＝（ｈ／２π）・ｋ4
＝ｎｈ／λｃ
＝ｎ・ｍｃ
（Ｐ0）^2－（Ｐ1）^2－（Ｐ2）^2－（Ｐ3）^2－（Ｐ４）^2＝０
i∂μψ＝Pμψ
ｎ・ｍｃψ＝P４ψ
ημν∂μ∂νψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０
（－∂0∂0＋∂a∂a－（ｎ・ｍｃ）^2）ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０ ：ａ＝１－３
（□＋（ｎ・ｍｃ）^2）ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝０ ：Ｋ－Ｇ方程式
ψ（Ｘｊ，Ｘ４)＝Σn ψ’（Ｘｊ）exp（ｉ・ｋ4Ｘ4)
Ｐ４：「この世界が５次元になるということは考えにくい。
僕が飛び飛びのｍｃになるなんて。」
ｍ：「僕は、ちゃんと表に出られるから気にしなてないけど。」
Ｘ４：「わたしがコンパクト化されてるなんて、誰が言い出したの？」
λｃ：「君が縮んだんじゃなくて、他のＸが膨張しただけだよ。
粒子のエネルギーがコンプトン波長くらいの距離内に押し込まれると、
どの方向でもｋ＝（２π／λｃ）ｎになって量子化されるんだ。」
ψ：「つまり、ｍｃの２乗に、たかだか４個のｎの２乗値の和を掛け算したものになるってことか。」
（Ｐ0）^2＝（ｍｃ・ｎ1）^2＋（ｍｃ・ｎ2）^2＋（ｍｃ・ｎ3）^2＋（ｍｃ・ｎ4）^2
＝（ｍｃ）^2・(（ｎ1）^2＋（ｎ2）^2＋（ｎ3）^2＋（ｎ4）^2)
ｈ：「4平方の和の定理というのがあって、自然数Ｎは多くても４つの２乗数に分解できるそうだ。」
Ｐ0：「ってことは、僕はｍｃ・√Ｎなんだ。」
Ｎ：「１が最低値のとき。」
ｃ：「あのー、僕はｍ＝０なんですが・・・」
ｍ：「貴方はＸ４につかまらないから、お誘いがないのよ。」
ハイゼンベルグ方程式
記号
μ＝０、１－４
ｊ、ｋ＝１－４
ｉ：虚数単位
ｍ：質量
ｃ：光速
ｈ：プランク定数（＝２π）
τ：固有時
Ｘμ：四元位置ベクター Ｘ０＝ｃ・ｔ
Ｐμ：四元運動量ベクター Ｐ４＝m・ｃ
Φn：n元スピナー
Φ4￥＝（Φ0 Φ1 Φ2 Φ3） ￥：転置記号
［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ： 交換関係
｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ：反交換関係
ｉｄＡμ／ｄτ＝ｉ∂Ａμ／∂τ＋［Ａμ，（Ｐ0）^2／（２ｍ）］
ｉｄＸμ／ｄＸ１＝［Ｘμ，Ｐ１］
ｉｄＸμ／ｄτ＝（ｄＸ１／ｄτ）［Ｘμ，Ｐ１］
ｄＸ１／ｄτ＝Ｐ１／ｍより
ｉｄＸμ／ｄτ＝［Ｘμ，（Ｐ１）^2／（２ｍ）］
Ex) ディラック方程式 ±ρ0Ｐ０Φ4＝ρｊＰｊΦ4
ｉｄＸν／ｄτ ：ν＝１－３
＝［Ｘν，（Ｐ0）^2／（２ｍ）］
＝（［Ｘν，Ｐ0］Ｐ0 ＋ Ｐ0 ［Ｘν，Ｐ0］）／（２ｍ）
ここで［Ｘν，Ｐ0］＝［Ｘν，ρｊＰｊ］＝ρｊ［Ｘν，Ｐｊ］＝ｉρν
より
＝ｉ（ρνＰ0 ＋ Ｐ0ρν）／（２ｍ）
＝ｉ｛ρν，Ｐ0｝／（２ｍ）
＝ｉ｛ρν，ρｊ｝Ｐｊ／（２ｍ）
｛ρν，ρｊ｝＝２δμｊより
＝Ｐν／ｍ
Cf)
Ｐν＝ｍｄＸν／ｄτ
＝（ｍ／ｉ）［Ｘν，（Ｐ0）^2／（２ｍ）］
＝（１／２ｉ）｛［Ｘν，Ｐ0］，Ｐ0｝
＝（１／２）｛ｄＸν／ｄＸ0，Ｐ0｝
Ｘ0：「ハイゼンベルグ方程式は、四元ベクターの式じゃないの？」
Ｐ0：「僕の自乗はスカラーじゃないから、ローレンツ不変でない。」
Φ4：「スカラー？」
τ：「この世界の一匹オオカミのことさ。」
ｍ：「Ｐμだけじゃダメだ。僕が入らないと。」
δμｊ：「僕のことは紹介がないんだけど？」
ρν：「いいんだよ、君は有名なんだから。」
ポテンシャル井戸
単位系
ｈ＝２π
ｃ＝１
Ｐ：運動量
Ｅ：全エネルギー
Ｖ：ポテンシャルエナジー
ｍ：質量
π：円周率
一次元シュレーディンガー方程式
（ｍ＋Ｐ2／（２ｍ）＋Ｖ）ψ＝Ｅψ
Ｐψ＝－ⅰ∂1ψ＝－ⅰｄψ／ｄｘ
Ｖ＝∞ （ｘ＜０，ｘ＞Ｌ）
Ｖ＝０ （０≦ｘ≦Ｌ）
ψ∝exp（ｉ・ｋ・ｘ）とおくと、
（ｍ＋ｋ2／（２ｍ）＋０）ψ＝Ｅψ
∴ｋ＝±√（２ｍ・（Ｅ－ｍ））
ψ（ｘ）＝Ａ・exp（ｉ・ｋ・ｘ）＋Ｂ・exp（－ｉ・ｋ・ｘ）
境界条件 ψ（０）＝ψ（Ｌ）＝０
Ａ＋Ｂ＝０ から Ｂ＝－Ａ
Ａ・exp（ｉ・ｋ・Ｌ）＋Ｂ・exp（－ｉ・ｋ・Ｌ）
＝Ａ・（exp（ｉ・ｋ・Ｌ）－exp（－ｉ・ｋ・Ｌ））
＝Ａ・２ｉ・ｓｉｎ（ｋＬ）
＝０
∴ｋ＝ｎπ／Ｌ （ｎは整数）
波数ｋ＝２π／λ:波長 より （λ／２）・ｎ＝Ｌ （定在波）
Ｅ＝ｍ＋ｋ2／（２ｍ）
＝ｍ＋（ｎ・π）2／（２ｍ・Ｌ2）
群速度：ｄＥ／ｄＰ
＝Ｐ／ｍ
＝ｎπ／（ｍＬ）
位相速度：Ｅ／Ｐ
＝（ｍ＋（ｎπ）2／（２ｍ・Ｌ2））／（ｎπ／Ｌ）
＝ ｍ・Ｌ／（ｎπ）＋（ｎπ）／（２ｍ・Ｌ）
≧２√（１／２）＝√２［・ｃ］
ψ：「無限に深いポテンシャル井戸に嵌ったカエルは、連続的にジャンプできない。」
Ｅ：「井の中の蛙、大海を知らず、ってコトバがあるよ。」
Ｖ：「その蛙は、だた空の高さを知る。」
Ｐ：「大海の方が、井戸よりも深いんじゃないの。」
ｍ：「暗すぎて何も見えなってことさ。」
cf） クライン－ゴルドン方程式
P0^2ψ＝（Ｐ^2＋ｍ^2）ψ
ψ∝exp（ｉ・(ω・ｘ0＋ｋ・ｘ1） ） ：ｘ0＝ｔ
ω^2＝ｋ^2＋ｍ^2
ｋ＝±√（ω^2ーｍ^2）
Ｅ＝ω＝±√（ｍ^2＋（ｎπ／Ｌ）＾2）
ｄＥ／ｄＰ＝ｄω／ｄｋ＝ｋ／ω
Ｅ／Ｐ＝ω／ｋ
Schrödinger方程式
記号
φ：波動関数、スカラーの状態関数
Ｕ＝exp（ｉρＧ） ：ユニタリー群 パラメータρ ジェネレータＧ
ＵＵ-1 ＝Ｕ-1Ｕ ＝Ｉ ：恒等変換
ｉ ：虚数単位
∂μ：∂／∂ｘμ
Ｓ系
∂μφ＝０
Ｓ'系
Ｕ∂μＵ-1Ｕφ＝０
φ'＝Ｕφ
∂'μ＝Ｕ∂μＵ-1
＝ＵＵ-1∂μ＋Ｕ（∂μＵ-1）
＝∂μ＋ｉＵＵ-1（∂μρ）Ｇ
＝∂μ＋ｉ（∂μρ）Ｇ
∂'μφ'＝０
Ex)
ρ＝ｘν ：４元位置ベクタ
Ｇ＝Ｐν ：４元運動量ベクタ
のとき
∂μρ＝∂μｘν ＝ｇμν
∂'μ＝∂μ＋ｉｇμνＰν＝∂μ＋ｉＰμ
∴(∂μ＋ｉＰμ)φ'＝０
∂μφ'＝－ｉＰμφ'
ｉ∂μφ'＝Ｐμφ'
φ：「ダッシュ記号を外して、
ｉ∂μφ＝Ｐμφ
としよう。」
∂μ：「この複素共役は
－ｉ∂μφ＊＝Ｐμφ＊ 」
Ｐμ：「僕は、Ｐμ＝Ｐμ＊ 」
Ｇ：「Schrödinger方程式は１組でないといけないね。」
Ｕ：「静止座標系で、
ｉ∂0φ＝ｍφの場合
運動座標系ではどうなるかな？
ρ：「ｉ∂0φ＝（Ｐ0＋ｍ）φ
Ｐ0＝(1/2)(Ｐj)^2/ｍとおくと、よく知られた式が出る。」
Ｇ：「ρ＝θμν ：６元角度・ラピディティテンサ
Ｇ＝Ｌμν ：６元角運動量テンサ（ローレンツジェネレータ）
のとき
回転なしの系では∂φ/∂θμν＝０とする。」
ρ：「θμν＝－θνμ
Ｌμν＝－Ｌνμ
で反対称テンサだよ。」
Ｇ：「回転系では、
(∂/∂θμν＋ｉＬμν)φ'＝０
ｉ∂φ'/∂θμν＝Ｌμνφ' 」
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