単位系

ｈ＝２π

ｃ＝１

Ｐ：運動量

Ｅ：全エネルギー

Ｖ：ポテンシャルエナジー

ｍ：質量

π：円周率

一次元シュレーディンガー方程式

　（ｍ＋Ｐ2／（２ｍ）＋Ｖ）ψ＝Ｅψ

　　Ｐψ＝－ⅰ∂1ψ＝－ⅰｄψ／ｄｘ

Ｖ＝∞　（ｘ＜０，ｘ＞Ｌ）

Ｖ＝０　（０≦ｘ≦Ｌ）

ψ∝exp（ｉ・ｋ・ｘ）とおくと、

（ｍ＋ｋ2／（２ｍ）＋０）ψ＝Ｅψ

∴ｋ＝±√（２ｍ・（Ｅ－ｍ））

　ψ（ｘ）＝Ａ・exp（ｉ・ｋ・ｘ）＋Ｂ・exp（－ｉ・ｋ・ｘ）

境界条件　ψ（０）＝ψ（Ｌ）＝０

Ａ＋Ｂ＝０　から　Ｂ＝－Ａ

Ａ・exp（ｉ・ｋ・Ｌ）＋Ｂ・exp（－ｉ・ｋ・Ｌ）

＝Ａ・（exp（ｉ・ｋ・Ｌ）－exp（－ｉ・ｋ・Ｌ））

＝Ａ・２ｉ・ｓｉｎ（ｋＬ）

＝０

∴ｋ＝ｎπ／Ｌ　（ｎは整数）

波数ｋ＝２π／λ:波長　より　（λ／２）・ｎ＝Ｌ　（定在波）

Ｅ＝ｍ＋ｋ2／（２ｍ）

　＝ｍ＋（ｎ・π）2／（２ｍ・Ｌ2）

群速度：ｄＥ／ｄＰ

　　　　＝Ｐ／ｍ

　　　　＝ｎπ／（ｍＬ）

位相速度：Ｅ／Ｐ

　　　　＝（ｍ＋（ｎπ）2／（２ｍ・Ｌ2））／（ｎπ／Ｌ）

　　　　＝ ｍ・Ｌ／（ｎπ）＋（ｎπ）／（２ｍ・Ｌ）

        ≧２√（１／２）＝√２［・ｃ］

ψ：「無限に深いポテンシャル井戸に嵌ったカエルは、連続的にジャンプできない。」

Ｅ：「井の中の蛙、大海を知らず、ってコトバがあるよ。」

Ｖ：「その蛙は、だた空の高さを知る。」

Ｐ：「大海の方が、井戸よりも深いんじゃないの。」

ｍ：「暗すぎて何も見えなってことさ。」

cf）　クライン－ゴルドン方程式

　　P0^2ψ＝（Ｐ^2＋ｍ^2）ψ　　　

　　　ψ∝exp（ｉ・(ω・ｘ0＋ｋ・ｘ1）　）　　　　　：ｘ0＝ｔ

     ω^2＝ｋ^2＋ｍ^2

　　　　ｋ＝±√（ω^2ーｍ^2）

　　　　Ｅ＝ω＝±√（ｍ^2＋（ｎπ／Ｌ）＾2）

       ｄＥ／ｄＰ＝ｄω／ｄｋ＝ｋ／ω

　　　　Ｅ／Ｐ＝ω／ｋ

記号

φ：波動関数、スカラーの状態関数

Ｕ＝exp（ｉρＧ）　：ユニタリー群　パラメータρ　ジェネレータＧ

ＵＵ-1 ＝Ｕ-1Ｕ ＝Ｉ　：恒等変換

ｉ　：虚数単位

∂μ：∂／∂ｘμ

Ｓ系

　　　∂μφ＝０

Ｓ'系

　　　Ｕ∂μＵ-1Ｕφ＝０

　　　φ'＝Ｕφ

      ∂'μ＝Ｕ∂μＵ-1

             ＝ＵＵ-1∂μ＋Ｕ（∂μＵ-1）

　　　　＝∂μ＋ｉＵＵ-1（∂μρ）Ｇ

　　　　＝∂μ＋ｉ（∂μρ）Ｇ

      ∂'μφ'＝０

Ex)

　ρ＝ｘν　　　：４元位置ベクタ

　Ｇ＝Ｐν　　　：４元運動量ベクタ

　のとき

　∂μρ＝∂μｘν　＝ｇμν

　∂'μ＝∂μ＋ｉｇμνＰν＝∂μ＋ｉＰμ

 ∴(∂μ＋ｉＰμ)φ'＝０

∂μφ'＝－ｉＰμφ'

ｉ∂μφ'＝Ｐμφ'　　

φ：「ダッシュ記号を外して、

ｉ∂μφ＝Ｐμφ

としよう。」

∂μ：「この複素共役は

　　－ｉ∂μφ＊＝Ｐμφ＊　」　

Ｐμ：「僕は、Ｐμ＝Ｐμ＊　」

Ｇ：「Schrödinger方程式は１組でないといけないね。」

Ｕ：「静止座標系で、

ｉ∂0φ＝ｍφの場合

運動座標系ではどうなるかな？

ρ：「ｉ∂0φ＝（Ｐ0＋ｍ）φ

　　Ｐ0＝(1/2)(Ｐj)^2/ｍとおくと、よく知られた式が出る。」

Ｇ：「ρ＝θμν　　　：６元角度・ラピディティテンサ

　　Ｇ＝Ｌμν　　　：６元角運動量テンサ（ローレンツジェネレータ）

のとき

回転なしの系では∂φ/∂θμν＝０とする。」

ρ：「θμν＝－θνμ

　　Ｌμν＝－Ｌνμ

で反対称テンサだよ。」

Ｇ：「回転系では、

　　　(∂/∂θμν＋ｉＬμν)φ'＝０

　　　ｉ∂φ'/∂θμν＝Ｌμνφ'　　」