[P0,X0]=i
[Pj,Xk]=i・δjk :クロネコ、もといクロネッカーデルタ記号 j,k=1-3
P0とPjが無関係の場合
[P0、Xj]=[Pj,X0]=0
[Pμ,Xν]=i・ημν :ミンコフスキー計量テンソル
一般座標変換すると、
[P’ μ,X’ ν]=i・gμν :計量テンソル
cf)
gμ’ν’・dX’μ’・dX’ν’ =ημν・dXμ・dXν
シュワルツシルト球対称外部解
(ds)^2=g00・(dX0)^2+g11・(dr)^2 :線素長
g00=N
g11=-1/N
N=(1-R/r) :r 動径
R=2・G・M/c^2 :シュワルツシルト半径 G:万有引力定数 M:質量
[P0,X0]=i・g00=i/N
[Pr,r]=i・g11=-ⅰ・N
Pr=-i・∂/∂r ( ’ を省略)
r:「僕がRに等しいと、N=0になる。」
Pr:「rと交換日記でも始めようかな。」
P0:「わたしはどうなるのよ!」
R:「危ないから、事象の地平面には近づかないでね。」
X0:「彼から離れていれば安全さ。」
g:「どういうこと?」
η:「君がしゃしゃりでない方がいいってことよ。」
記号
μ=0、1-4
j、k=1-4
i:虚数単位
σμ:パウリ行列 μ=0、1-3
m:質量
c:光速
h(=2π):プランク定数
@:直積
Xμ:四元位置ベクター X0=c・t
Pμ:四元運動量ベクター P4=m・c
Φn:n元スピナー
Φ4¥=(Φ0 Φ1 Φ2 Φ3) ¥:転置記号
∂μ≡∂/∂Xμ
{A,B}=AB+BA:反交換関係
ρ0
=σ0@σ0
=(σ0 0
0 σ0)
ρj j=1-3
=σ1@σj
=(0 σj
σj 0)
ρ4
=σ3@σ0
=(σ0 0
0 -σ0)
{ρj,ρk}=0 (j≠k)
{ρ0,ρk}=2ρ0
ρjρj =(ρj)2=ρ0
±ρ0P0Φ4=ρjPjΦ4
P0Φk=i∂0Φk k=0、1-3
PjΦk=-iρj∂jΦk j=1-3
P4Φk=(m・c)Φk
±iρ0∂0Φ4=-iρj∂jΦ4+ρ4P4Φ4
X:「ディラック氏は、
(ρ0P0)2-(ρkPk)2
=(ρ0P0-ρkPk)・(ρ0P0+ρkPk)
という因数分解を思いついたんだ。」
P:「空中分解よりも凄い!」
σ:「ところで、直積@って何?」
ρ:「σj@σkは、σjの中で1の場所にσkを入れ込んだものだよ。
パウリ行列は2行2列だから、4行4列に拡張されるのさ。」
@:「σ2@σ1は、σ2の中で-i、iを、-iσ1、iσ1に置き換えればいい。」
∂:「ベクターとスピナーは?」
σ:「例えば3成分のベクターは、仲良しダンゴ3兄弟ってこと。
スピナーはふつう2成分だから、婚姻関係みたいなものさ。」
Φ:「おかげで、ぼくは4成分になった。」
h:「粒子の夫婦Φa と、反粒子の夫婦Φb。」
Φ4¥=(Φa Φb)
Φa¥=(Φ0 Φ1)
Φb¥=(Φ2 Φ3)
±σ0P0Φa=σ0P4Φa + σjPjΦb
±σ0P0Φb=σjPjΦa - σ0P4Φb
σ0(P0-m・c)Φa=σjPjΦb
σ0(P0+m・c)Φb=σjPjΦa
μ=0,1-4
J=0,1-3
Xμ: 5元位置ベクトル
Pμ: 5元運動量ベクトル
kμ: 5元波数ベクトル
ημν: 計量ベクトル
h:プランク定数
m:質量
λc=h/(mc):コンプトン波長
(X0)^2+(X1)^2+(X2)^2+(X3)^2=(X4)^2 ≦ (λc)^2
↓
(X0)^2-(X1)^2-(X2)^2-(X3)^2=(X4)^2
場ψ(Xj,X4)の周期的境界条件
ψ(Xj,X4)=ψ(Xj,X4+λc)
ψ’(Xj)exp(i・k4X4)=ψ’(Xj,i・k4(X4+λc))
k4・λc=2πn(自然数)
P4=(h/2π)・k4
=nh/λc
=n・mc
(P0)^2-(P1)^2-(P2)^2-(P3)^2-(P4)^2=0
i∂μψ=Pμψ
n・mcψ=P4ψ
ημν∂μ∂νψ(Xj,X4)=0
(-∂0∂0+∂a∂a-(n・mc)^2)ψ(Xj,X4)=0 :a=1-3
(□+(n・mc)^2)ψ(Xj,X4)=0 :K-G方程式
ψ(Xj,X4)=Σn ψ’(Xj)exp(i・k4X4)
P4:「この世界が5次元になるということは考えにくい。
僕が飛び飛びのmcになるなんて。」
m:「僕は、ちゃんと表に出られるから気にしなてないけど。」
X4:「わたしがコンパクト化されてるなんて、誰が言い出したの?」
λc:「君が縮んだんじゃなくて、他のXが膨張しただけだよ。
粒子のエネルギーがコンプトン波長くらいの距離内に押し込まれると、
どの方向でもk=(2π/λc)nになって量子化されるんだ。」
ψ:「つまり、mcの2乗に、たかだか4個のnの2乗値の和を掛け算したものになるってことか。」
(P0)^2=(mc・n1)^2+(mc・n2)^2+(mc・n3)^2+(mc・n4)^2
=(mc)^2・((n1)^2+(n2)^2+(n3)^2+(n4)^2)
h:「4平方の和の定理というのがあって、自然数Nは多くても4つの2乗数に分解できるそうだ。」
P0:「ってことは、僕はmc・√Nなんだ。」
N:「1が最低値のとき。」
c:「あのー、僕はm=0なんですが・・・」
m:「貴方はX4につかまらないから、お誘いがないのよ。」
記号
μ=0、1-4
j、k=1-4
i:虚数単位
m:質量
c:光速
h:プランク定数(=2π)
τ:固有時
Xμ:四元位置ベクター X0=c・t
Pμ:四元運動量ベクター P4=m・c
Φn:n元スピナー
Φ4¥=(Φ0 Φ1 Φ2 Φ3) ¥:転置記号
[A,B]=AB-BA: 交換関係
{A,B}=AB+BA:反交換関係
idAμ/dτ=i∂Aμ/∂τ+[Aμ,(P0)^2/(2m)]
idXμ/dX1=[Xμ,P1]
idXμ/dτ=(dX1/dτ)[Xμ,P1]
dX1/dτ=P1/mより
idXμ/dτ=[Xμ,(P1)^2/(2m)]
Ex) ディラック方程式 ±ρ0P0Φ4=ρjPjΦ4
idXν/dτ :ν=1-3
=[Xν,(P0)^2/(2m)]
=([Xν,P0]P0 + P0 [Xν,P0])/(2m)
ここで[Xν,P0]=[Xν,ρjPj]=ρj[Xν,Pj]=iρν
より
=i(ρνP0 + P0ρν)/(2m)
=i{ρν,P0}/(2m)
=i{ρν,ρj}Pj/(2m)
{ρν,ρj}=2δμjより
=Pν/m
Cf)
Pν=mdXν/dτ
=(m/i)[Xν,(P0)^2/(2m)]
=(1/2i){[Xν,P0],P0}
=(1/2){dXν/dX0,P0}
X0:「ハイゼンベルグ方程式は、四元ベクターの式じゃないの?」
P0:「僕の自乗はスカラーじゃないから、ローレンツ不変でない。」
Φ4:「スカラー?」
τ:「この世界の一匹オオカミのことさ。」
m:「Pμだけじゃダメだ。僕が入らないと。」
δμj:「僕のことは紹介がないんだけど?」
ρν:「いいんだよ、君は有名なんだから。」