ローレンツ転換

 

記号

　ミンコフスキー計量テンソルη＝（ξ）^2

　ηab

＝１　（a=b=0

－１　（a=b=1,2,3）

　０　（a≠b）

 

　ξab

＝１　（a=b=0

　ⅰ　（a=b=1,2,3）

　０　（a≠b）

 

転換前

　基本関係式

　(Ｘ’0)^2＋(Ｘ’1)^2＋(Ｘ’2)^2＋(Ｘ’3)^2＝(Ｘ0)^2＋(Ｘ1)^2＋(Ｘ2)^2＋(Ｘ3)^2

 

　Ｘ1方向

　　　Ｘ’0＝Ｘ0・ｃｏｓθ－Ｘ1・ｓｉｎθ

　　　Ｘ’1＝Ｘ0・ｓｉｎθ＋Ｘ1・ｃｏｓθ

　　　Ｘ’2＝Ｘ2

　　　Ｘ’3＝Ｘ3

　　　　　　　　　　ｔａｎθ＝Ｖ／ｃ

 

　Ｓ^2＝(Ｘ’0)^2＋(Ｘ’1)^2＝(Ｘ0)^2＋(Ｘ1)^2＝０　のとき、

　Ｘ0＝Ｘ1＝０

 

 

転換式

　　Ｘμ→ξ・Ｘμ　（Ｘ0→Ｘ0，Ｘ1→ⅰ・Ｘ1，Ｘ2→ⅰ・Ｘ2，Ｘ3→ⅰ・Ｘ3）

　　Ｘ’μ→ξ・Ｘ’μ　（Ｘ’0→Ｘ’0，Ｘ’1→ⅰ・Ｘ’1，Ｘ’2→ⅰ・Ｘ’2，Ｘ’3→ⅰ・Ｘ’3）

　　θ　→ⅰ・θ

 

　　ｃｏｓ（ⅰ・θ）＝（exp（－θ）＋exp（θ））／２＝ｃｏｓｈθ

　　ｓｉｎ（ⅰ・θ）＝（exp（－θ）－exp（θ））／（２・ⅰ）＝ⅰ・ｓｉｎｈθ

または　β　→ⅰ・β

　　ｃｏｓ（ⅰ・θ）＝１／√（１＋（ⅰ・β）^2）＝１／√（１－β^2）

　　ｓｉｎ（ⅰ・θ）＝（ⅰ・β）／√（１＋（ⅰ・β）^2）＝（ⅰ・β）／√（１－β^2）

 

 

転換後

　Ｘ1方向ブースト

　　　Ｘ’0＝Ｘ0・ｃｏｓｈθ－ⅰ・Ｘ1（ⅰ・ｓｉｎｈθ）

　　　　　＝Ｘ0・ｃｏｓｈθ＋Ｘ1・ｓｉｎｈθ）

　　　ｉ・Ｘ’1＝ⅰ・Ｘ1・ｃｏｓｈθ＋Ｘ0・（ⅰ・ｓｉｎｈθ）

　　　Ｘ’1＝Ｘ1・ｃｏｓｈθ＋Ｘ0・ｓｉｎｈθ

　　　ⅰ・Ｘ’2＝ⅰ・Ｘ2

　　　ⅰ・Ｘ’3＝ｉ・Ｘ3

　　　　　　　　　　ｔａｎｈθ＝－Ｖ／ｃ

 

　Ｓ^2＝(Ｘ’0)^2－(Ｘ’1)^2＝(Ｘ0)^2－(Ｘ1)^2＝０　のとき、

　±Ｘ0＝Ｘ1

 

 

Ｅｘ）交換関係

　転換前　［Ｐ1，Ｘ1］＝［Ｐ0，Ｘ0］=ｉ

　

　［Ｐ1，Ｘ1］＝［Ｐ’1・ｃｏｓθ＋Ｐ’0・ｓｉｎθ，Ｘ’1・ｃｏｓθ＋Ｘ’0・ｓｉｎθ］

　　　　　　　＝［Ｐ’1，Ｘ’1］・（ｃｏｓθ）^2　＋［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ｓｉｎθ）^2

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃｆ）　　［Ｐ’1，Ｘ’0］+［Ｐ’0，Ｘ’1］＝０

 

　［Ｐ0，Ｘ0］＝［Ｐ’0・ｃｏｓθ＋Ｐ’1・ｓｉｎθ，Ｘ’0・ｃｏｓθ＋Ｘ’1・ｓｉｎθ］

　　　　　　　＝［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ｃｏｓθ）^2　＋［Ｐ’1，Ｘ’1］・（ｓｉｎθ）^2

 

転換式

　　Ｘ’μ→ξ・Ｘ’μ　（Ｘ’0→Ｘ’0，Ｘ’1→ⅰ・Ｘ’1，Ｘ’2→ⅰ・Ｘ’2，Ｘ’3→ⅰ・Ｘ’3）

　　Ｐ’μ→ξ・Ｐ’μ　（Ｐ’0→Ｐ’0，Ｐ’1→ⅰ・Ｐ’1，Ｐ’2→ⅰ・Ｐ’2，Ｐ’3→ⅰ・Ｐ’3）

　　θ　→ⅰ・θ　または　β　→ⅰ・β

 

 

　転換後

　［ｉ・Ｐ1，ｉ・Ｘ1］

＝［ⅰ・Ｐ’1，ⅰ・Ｘ’1］・（ｃｏｓｈθ）^2　＋［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ⅰ・ｓｉｎｈθ）^2

＝－［Ｐ’1，Ｘ’1］・（ｃｏｓｈθ）^2　－［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ｓｉｎｈθ）^2

＝ｉ

 

　［Ｐ0，Ｘ0］

＝［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ｃｏｓｈθ）^2　＋［ｉ・Ｐ’1，ｉ・Ｘ’1］・（ⅰ・ｓｉｎｈθ）^2

＝［Ｐ’0，Ｘ’0］・（ｃｏｓｈθ）^2　＋［Ｐ’1，Ｘ’1］・（ｓｉｎｈθ）^2

＝ｉ

 

［Ｐ’1，Ｘ’1］＝Ａ　［Ｐ’0，Ｘ’0］＝Ｂとおくと、

 

（ｃｏｓｈθ）^2・Ａ＋（ｓｉｎｈθ）^2・Ｂ＝－ｉ

（ｓｉｎｈθ）^2・Ａ＋（ｃｏｓｈθ）^2・Ｂ＝ｉ

 

Ｔ（θ）

＝（　（ｃｏｓｈθ）^2　　（ｓｉｎｈθ）^2

　　　（ｓｉｎｈθ）^2　　　（ｃｏｓｈθ）^2　）

 

ｄｅｔＴ（θ）＝（ｃｏｓｈθ）^4－（ｓｉｎｈθ）^4＝（ｃｏｓｈθ）^2＋（ｓｉｎｈθ）^2

 

逆行列Ｔinv（θ）

＝（１／ｄｅｔＴ（θ））

×（　（ｃｏｓｈθ）^2　　－（ｓｉｎｈθ）^2

　　－（ｓｉｎｈθ）^2　　　（ｃｏｓｈθ）^2　）

 

（Ａ

　Ｂ）

＝Ｔinv（θ）

×（－ｉ

　　　ｉ）

 

∴　Ａ＝－ｉ　Ｂ＝ｉ

定義

Λ￣μν＝［Ｐ￣μ，Ｘ￣ν］

 

テンソルの変換則

Λ’￣μν＝（∂Ｘ’￣μ／∂Ｘ￣ρ）・（∂Ｘ’￣ν／∂Ｘ￣ξ）・Λ￣ρξ

 

計算

　Ｘ1方向のローレンツブースト

　βj＝ｖj／ｃ

　Ｖ＝ｖ1

　γ＝１／√（１－（β1）^2）

　coshθ＝γ

　sinhθ＝γ・β1

 

００成分

　Λ’￣00＝（coshθ）^2・Λ￣00－coshθ・sinhθ・（Λ￣01＋Λ￣10）＋（sinhθ）^2・Λ￣11＝Λ￣00

 

０１,１０成分

　Λ’￣01＝（coshθ）^2・Λ￣01－coshθ・sinhθ・（Λ￣00＋Λ￣11）＋（sinhθ）^2・Λ￣10＝Λ￣01＝－Λ￣10

 

０２,２０成分

　Λ’￣02＝coshθ・Λ￣02－sinhθ・Λ￣12＝coshθ・Λ￣02＝－Λ￣20

 

０３,３０成分

　Λ’￣03＝coshθ・Λ￣03－sinhθ・Λ￣13＝coshθ・Λ￣03＝－Λ￣30

 

１１成分

　Λ’￣11＝（coshθ）^2・Λ￣11－coshθ・sinhθ・（Λ￣01＋Λ￣10）＋（sinhθ）^2・Λ￣00＝Λ￣11

 

１２,２１成分

　Λ’￣12＝ coshθ・Λ￣12－sinhθ・Λ￣02＝－sinhθ・Λ￣02＝－Λ￣21

 

１３,３１成分

　Λ’￣13＝ coshθ・Λ￣13－sinhθ・Λ￣03＝－sinhθ・Λ￣03＝－Λ￣31

 

２２成分

　Λ’￣22＝Λ￣22

 

２３，３２成分

　Λ’￣23＝Λ￣23

 

３３成分

　Λ’￣33＝Λ￣33

 

まとめ

　Λ￣jj＝－ｉ　　Λ￣00＝ｉ

　Λ￣0j＝－ｉ・βj＝－Λ￣j0

　Λ￣jk＝０　（j≠k）

 

 

（ｉ　　　　－ｉ・β1　－ｉ・γ・β2　　　　－ｉ・γ・β3

ｉ・β1　　－ｉ　　　　　ｉ・γ・β1・β2　　ｉ・γ・β1・β3

ｉ・γ・β2　－ｉ・γ・β1・β2　　－ｉ　　　　０

ｉ・γ・β3　－ｉ・γ・β1・β3　　　０　　　－ｉ　　　　　　）

 

∴　Λ’￣μν＝ｉ・（η￣μν－γ・Ｌ￣μν）

 

　Ｌ￣μν＝－Ｌ￣νμ＝０

　Ｌ￣01＝β1／γ

　Ｌ￣02＝β2

　Ｌ￣03＝β3

　Ｌ￣12＝－β1・β2

　Ｌ￣13＝－β1・β3

 

　Λ￣01＋Λ￣10　＝０　→　　Ｐ￣0≒Ｐ￣1　のとき、Ｌ￣01＝－Ｌ￣10＝１

・任意方向β＝（β1, β2，β3）の場合

　

　β^2＝βj・βj＝β1・β1＋β2・β2＋β2・β2

　γ＝１/√（１－β^2）

 

　Λ￣μν＝ｉ・（η￣μν　－λ￣μν）

　λ￣jk＝０  j,k=1-3

 

　Ｌ￣μν＝－Ｌ￣νμ＝０

　Ｌ￣0j＝λ￣0j－（１－１／γ）・（λ￣0k・βk）・βj／β^2   j=1-3

　Ｌ￣jk＝－（βj・λ￣0k－βk・λ￣0j）   j,k=1-3

 

　λ￣0j＝βjの場合

　Ｌ￣jk＝０   j,k=1-3

　Λ’￣0j＝－ｉ・（Ｖj／ｃ）　j=1-3

ハミルトン氏の四元数　Ｉμ　　：μ＝０～３

(Ｉ0)2＝Ｉ0

(Ｉｊ)2＝－Ｉ0　　：j＝１～３

ＩｊＩk ＝－δjkＩ0 ＋εjkl Ｉｌ　

    : δjk　　デルタ記号　ｊ＝ｋのとき１、そうでないとき０

　　：εjkl 　完全反対称テンソルε123＝+１ ε132＝-１ etc

交換関係

［Ｉj,Ｉk］   j,k,l=1～3

＝ＩjＩk－ＩkＩj

＝（－δjkＩ0＋ εｊｋｌＩｌ）－（－δkjＩ0 ＋εｋｊｌＩｌ）

＝２・εｊｋｌＩｌ

［Ｉ0,Ｉμ］   μ=0～3

＝０

　Ｘ＝ｘjＩj 　：j=1～３

　Ｘ２＝－ρ2Ｉ0

　exp（Ｘ）＝Ｉ0 cosρ＋（Ｘ／ρ）sinρ

　ρ＝√（ｘjｘj）＝π／２とする。　　　π：円周率

　ｘ1＝ρcosθ

　ｘ2＝ρsinθcosφ

　ｘ3＝ρsinθsinφ

位置ベクトル

Ｚ＝ｚjＩj

  ＝ｒ・（２Ｘ／π）＝ｒexp（Ｘ）　　　　ｒ：動径

　ｚ1＝ｒcosθ

　ｚ2＝ｒsinθcosφ

　ｚ3＝ｒsinθsinφ

単位方向ベクトル

Ｎ＝ｎjＩj

Ｎ２＝－１＝－ｎjｎj

四元数Ａ＝（Ａ）＋＜Ａ＞

（Ａ）　：スカラ

＜Ａ＞　：ベクトル

Ｉ0＝１とする。

ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞

スカラ積

（ＺＮ）＝（ＮＺ）＝－ｚjｎj

ベクトル積

＜ＺＮ＞＝－＜ＮＺ＞

　　　　＝（ｚjnk－ｚkｎj）ＩjＩk

　　　　＝（ｚjnk－ｚkｎj）εｊｋｌＩｌ：

ここから本題

・Ｓ系

Ｗ＝ｘ0N＋Ｚ

Ｗ~＝ｘ0N－Ｚ

ＷＷ~＝ｘ0ｘ0N2－Ｚ2＋ｘ0[Ｚ,Ｎ]

[Ｚ,Ｎ]＝ＺＮ－ＮＺ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞－（ＮＺ）－＜ＮＺ＞＝２＜ＺＮ＞

＝[ｘjＩj,ｎkＩk]＝２ｚjｎkεｊｋｌＩｌ

Ｚ//Ｎならば＜ＺＮ＞＝０　[Ｚ,Ｎ]＝０

∴ ＷＷ~＝－（ｘ0）2＋ｒ2

・Ｓ’系

Ｗ'＝ｘ'0N＋Ｚ'

Ｗ'~＝ｘ'0N－Ｚ'

Ｚ'//Ｎならば＜Ｚ'Ｎ＞＝０　[Ｚ',Ｎ]＝０

∴ Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2

Ｚ//Ｚ'//Ｎ　のとき

Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2＝－（ｘ0）2＋ｒ2＝ＷＷ~

η：ラピディティ

exp(η)  exp(-η)：スカラ

Ｗ'＝exp(η)W　or　exp(-η)Ｗ

Ｗ'~＝exp(-η)W～　or　exp(η)Ｗ~

ｘ'0N＋Ｚ'＝exp(η)[ｘ0N＋Ｚ]　or　exp(-η)[ｘ0N＋Ｚ]

ｘ'0N－Ｚ'＝exp(-η)[ｘ0N－Ｚ]　or　exp(η)[ｘ0N－Ｚ]

二式の加算

ｘ'0N＝cosh(η)ｘ0N±sinh(η)Ｚ

－ｘ'0＝－cosh(η)ｘ0±sinh(η)ＺＮ

ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞＝－｜Ｚ｜＝－ｒ

　∴ｘ'0＝ｘ0 cosh(η)±ｒ sinh(η)

二式の減算

Ｚ'＝±sinh(η)ｘ0N＋cosh(η)Ｚ

Ｚ'Ｎ＝±sinh(η)ｘ0（－１）＋cosh(η)ＺＮ

Ｚ'Ｎ＝（Ｚ'Ｎ）＋＜Ｚ'Ｎ＞＝－｜Ｚ'｜＝－ｒ'

　∴ｒ'＝ｒ cosh(η)±ｘ0 sinh(η)