ローレンツ変換と反ローレンツ変換
交換関係のローレンツ変換
定義
Λ￣μν＝［Ｐ￣μ，Ｘ￣ν］
テンソルの変換則
Λ’￣μν＝（∂Ｘ’￣μ／∂Ｘ￣ρ）・（∂Ｘ’￣ν／∂Ｘ￣ξ）・Λ￣ρξ
計算
Ｘ1方向のローレンツブースト
βj＝ｖj／ｃ
Ｖ＝ｖ1
γ＝１／√（１－（β1）^2）
coshθ＝γ
sinhθ＝γ・β1
００成分
Λ’￣00＝（coshθ）^2・Λ￣00－coshθ・sinhθ・（Λ￣01＋Λ￣10）＋（sinhθ）^2・Λ￣11＝Λ￣00
０１,１０成分
Λ’￣01＝（coshθ）^2・Λ￣01－coshθ・sinhθ・（Λ￣00＋Λ￣11）＋（sinhθ）^2・Λ￣10＝Λ￣01＝－Λ￣10
０２,２０成分
Λ’￣02＝coshθ・Λ￣02－sinhθ・Λ￣12＝coshθ・Λ￣02＝－Λ￣20
０３,３０成分
Λ’￣03＝coshθ・Λ￣03－sinhθ・Λ￣13＝coshθ・Λ￣03＝－Λ￣30
１１成分
Λ’￣11＝（coshθ）^2・Λ￣11－coshθ・sinhθ・（Λ￣01＋Λ￣10）＋（sinhθ）^2・Λ￣00＝Λ￣11
１２,２１成分
Λ’￣12＝ coshθ・Λ￣12－sinhθ・Λ￣02＝－sinhθ・Λ￣02＝－Λ￣21
１３,３１成分
Λ’￣13＝ coshθ・Λ￣13－sinhθ・Λ￣03＝－sinhθ・Λ￣03＝－Λ￣31
２２成分
Λ’￣22＝Λ￣22
２３，３２成分
Λ’￣23＝Λ￣23
３３成分
Λ’￣33＝Λ￣33
まとめ
Λ￣jj＝－ｉ Λ￣00＝ｉ
Λ￣0j＝－ｉ・βj＝－Λ￣j0
Λ￣jk＝０ （j≠k）
（ｉ －ｉ・β1 －ｉ・γ・β2 －ｉ・γ・β3
ｉ・β1 －ｉ ｉ・γ・β1・β2 ｉ・γ・β1・β3
ｉ・γ・β2 －ｉ・γ・β1・β2 －ｉ ０
ｉ・γ・β3 －ｉ・γ・β1・β3 ０ －ｉ ）
∴ Λ’￣μν＝ｉ・（η￣μν－γ・Ｌ￣μν）
Ｌ￣μν＝－Ｌ￣νμ＝０
Ｌ￣01＝β1／γ
Ｌ￣02＝β2
Ｌ￣03＝β3
Ｌ￣12＝－β1・β2
Ｌ￣13＝－β1・β3
Λ￣01＋Λ￣10 ＝０ → Ｐ￣0≒Ｐ￣1 のとき、Ｌ￣01＝－Ｌ￣10＝１
・任意方向β＝（β1, β2，β3）の場合
β^2＝βj・βj＝β1・β1＋β2・β2＋β2・β2
γ＝１/√（１－β^2）
Λ￣μν＝ｉ・（η￣μν －λ￣μν）
λ￣jk＝０ j,k=1-3
Ｌ￣μν＝－Ｌ￣νμ＝０
Ｌ￣0j＝λ￣0j－（１－１／γ）・（λ￣0k・βk）・βj／β^2 j=1-3
Ｌ￣jk＝－（βj・λ￣0k－βk・λ￣0j）
j,k=1-3
λ￣0j＝βjの場合
Ｌ￣jk＝０ j,k=1-3
Λ’￣0j＝－ｉ・（Ｖj／ｃ） j=1-3
ローレンツ変換と四元数
ハミルトン氏の四元数 Ｉμ ：μ＝０～３
(Ｉ0)2＝Ｉ0
(Ｉｊ)2＝－Ｉ0 ：j＝１～３
ＩｊＩk ＝－δjkＩ0 ＋εjkl Ｉｌ
: δjk デルタ記号 ｊ＝ｋのとき１、そうでないとき０
：εjkl 完全反対称テンソルε123＝+１ ε132＝-１ etc
交換関係
［Ｉj,Ｉk］ j,k,l=1～3
＝ＩjＩk－ＩkＩj
＝（－δjkＩ0＋ εｊｋｌＩｌ）－（－δkjＩ0 ＋εｋｊｌＩｌ）
＝２・εｊｋｌＩｌ
［Ｉ0,Ｉμ］ μ=0～3
＝０
Ｘ＝ｘjＩj ：j=1～３
Ｘ２＝－ρ2Ｉ0
exp（Ｘ）＝Ｉ0 cosρ＋（Ｘ／ρ）sinρ
ρ＝√（ｘjｘj）＝π／２とする。 π：円周率
ｘ1＝ρcosθ
ｘ2＝ρsinθcosφ
ｘ3＝ρsinθsinφ
位置ベクトル
Ｚ＝ｚjＩj
＝ｒ・（２Ｘ／π）＝ｒexp（Ｘ） ｒ：動径
ｚ1＝ｒcosθ
ｚ2＝ｒsinθcosφ
ｚ3＝ｒsinθsinφ
単位方向ベクトル
Ｎ＝ｎjＩj
Ｎ２＝－１＝－ｎjｎj
四元数Ａ＝（Ａ）＋＜Ａ＞
（Ａ） ：スカラ
＜Ａ＞ ：ベクトル
Ｉ0＝１とする。
ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞
スカラ積
（ＺＮ）＝（ＮＺ）＝－ｚjｎj
ベクトル積
＜ＺＮ＞＝－＜ＮＺ＞
＝（ｚjnk－ｚkｎj）ＩjＩk
＝（ｚjnk－ｚkｎj）εｊｋｌＩｌ：
ここから本題
・Ｓ系
Ｗ＝ｘ0N＋Ｚ
Ｗ~＝ｘ0N－Ｚ
ＷＷ~＝ｘ0ｘ0N2－Ｚ2＋ｘ0[Ｚ,Ｎ]
[Ｚ,Ｎ]＝ＺＮ－ＮＺ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞－（ＮＺ）－＜ＮＺ＞＝２＜ＺＮ＞
＝[ｘjＩj,ｎkＩk]＝２ｚjｎkεｊｋｌＩｌ
Ｚ//Ｎならば＜ＺＮ＞＝０ [Ｚ,Ｎ]＝０
∴ ＷＷ~＝－（ｘ0）2＋ｒ2
・Ｓ’系
Ｗ'＝ｘ'0N＋Ｚ'
Ｗ'~＝ｘ'0N－Ｚ'
Ｚ'//Ｎならば＜Ｚ'Ｎ＞＝０ [Ｚ',Ｎ]＝０
∴ Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2
Ｚ//Ｚ'//Ｎ のとき
Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2＝－（ｘ0）2＋ｒ2＝ＷＷ~
η：ラピディティ
exp(η) exp(-η)：スカラ
Ｗ'＝exp(η)W or exp(-η)Ｗ
Ｗ'~＝exp(-η)W～ or exp(η)Ｗ~
ｘ'0N＋Ｚ'＝exp(η)[ｘ0N＋Ｚ] or exp(-η)[ｘ0N＋Ｚ]
ｘ'0N－Ｚ'＝exp(-η)[ｘ0N－Ｚ] or exp(η)[ｘ0N－Ｚ]
二式の加算
ｘ'0N＝cosh(η)ｘ0N±sinh(η)Ｚ
－ｘ'0＝－cosh(η)ｘ0±sinh(η)ＺＮ
ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞＝－｜Ｚ｜＝－ｒ
∴ｘ'0＝ｘ0 cosh(η)±ｒ sinh(η)
二式の減算
Ｚ'＝±sinh(η)ｘ0N＋cosh(η)Ｚ
Ｚ'Ｎ＝±sinh(η)ｘ0（－１）＋cosh(η)ＺＮ
Ｚ'Ｎ＝（Ｚ'Ｎ）＋＜Ｚ'Ｎ＞＝－｜Ｚ'｜＝－ｒ'
∴ｒ'＝ｒ cosh(η)±ｘ0 sinh(η)
クライン－ゴルドン方程式
基本関係式 Ｐ0＾2＝Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2 j=1～３
基本方程式 i∂μψ＝Pμψ μ＝0,1～3
i∂0 ψ＝P0ψ から
－(∂0)＾2ψ＝P0^2ψ＝（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ
Pjψ＝ーi∂j ψ を代入
－(∂0)＾2ψ＝－（∂j）＾2ψ＋（ｍ・ｃ）^2ψ
∴ （□＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
□≡(∂0)＾2ー（∂j）＾2＝∂μ∂μ
ｃｆ１)分散関係
ψ∝exp（iｋμ・ｘμ）
ｋ0＝ω／ｃ ω：角周波数
ｋ1＝２π／λ1＝ｋ λ1：波長
ｋ2＝０
Ｋ3＝０ とする
（ーｋ0＾２＋ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
∴ｋ0＾２＝ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2 ：ω＝±ｃ√（ｋ＾2＋（ｍ・ｃ）^2）
２・ｋ0・ｄｋ0＝２・ｋ・ｄｋ
∴ｄｋ0／ｄｋ＝（ｄω／ｄｋ）／ｃ＝ｋ／ｋ0＝ｃ・ｋ／ω
位相速度 Ｖｐ＝ω／ｋ
｜Ｖｐ｜＝ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＞ｃ
群速度 Ｖｇ＝ｄω／ｄｋ＝ｃ＾2・ｋ／ω
｜Ｖｇ｜＝ｃ^2／（ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2））
＝ｃ／√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＜ｃ
＝ｃ・ｋ／√（ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）
ｃｆ２)低エネルギー近似
Ｐ0－ｍ・ｃ
＝ √（Pｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ
＝（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ）・（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
＝ Ｐｊ^2／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
Ｐｊ<<ｍ・ｃ より
≒ Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）
Ｐ0＝ｍ・ｃ＋Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）と 、方程式i∂0 ψ＝P0ψ、ーi∂j ψ＝Pjψから
i∂0 ψ＝（ｍ・ｃ＋(１／（２ｍ・ｃ））・（ーi∂j ）^2）ψ
∂0＝(１／ｃ）・∂ｔ＝∂／∂（ｃｔ） より
∴i∂tψ＝（ｍ・ｃ^2ー(１／(２ｍ)）・（∂j ）^2）ψ ：非相対論的シュレーディンガー方程式
フェルマーの法則
ｄｓ＝√（ημνｄｘμｄｘν） ημν：計量テンソル
ｌ＝∫ｄｓ
＝∫（√（ημν・ｄｘμ／ｄτ・ｄｘν／ｄτ））ｄτ
＝∫（√（ημν・ｕμ・ｕν）ｄτ
＝∫Ｌｄτ
を極小値とする軌跡。
変分法により δｌ＝０から
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ－∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０ ：オイラー－ラグランジュ方程式
∂Ｌ／∂ｕ0 ＝２・ｕ0／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ｕ0／ｃ
∂Ｌ／∂ｕｊ ＝－２・ｕｊ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝－ｕｊ／ｃ
ｊ＝１－３
∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０
ｄ（ｕμ／ｃ）／ｄτ＝０
ｕμ ＝ａμ（積分定数） cf) ｕμｕμ ＝ａμａμ＝ｃ2
∴ ｘμ ＝ａμ・τ＋ｂμ（積分定数）
ｘ０ ＝ｃ・ｔ＝ａ０・τ＋ｃ・ｔ0
ｘj ＝ａj・τ＋ｘj 0
ｃ（ｔ－ｔ0）2 －（ｘj －ｘj 0）2 ＝（(ａ０)２－(ａj)２）・τ2＝（ｃ・τ）２
CF)
∂Ｌ／∂ｕμ
＝２・ημν・ｕν ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ＝０ から
ημν・ｕν ／（√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ａμ（積分定数）
√（ημν・ｕμ・ｕν）＝ｄｓ／ｄτ＝ｃ＝ａμ・ｕμ
∴ ａμ・ｘμ ＝ｃ・τ＋ｂ（積分定数）
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