ローレンツ変換と反ローレンツ変換
クライン－ゴルドン方程式
基本関係式 Ｐ0＾2＝Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2 j=1～３
基本方程式 i∂μψ＝Pμψ μ＝0,1～3
i∂0 ψ＝P0ψ から
－(∂0)＾2ψ＝P0^2ψ＝（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ
Pjψ＝ーi∂j ψ を代入
－(∂0)＾2ψ＝－（∂j）＾2ψ＋（ｍ・ｃ）^2ψ
∴ （□＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
□≡(∂0)＾2ー（∂j）＾2＝∂μ∂μ
ｃｆ１)分散関係
ψ∝exp（iｋμ・ｘμ）
ｋ0＝ω／ｃ ω：角周波数
ｋ1＝２π／λ1＝ｋ λ1：波長
ｋ2＝０
Ｋ3＝０ とする
（ーｋ0＾２＋ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
∴ｋ0＾２＝ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2 ：ω＝±ｃ√（ｋ＾2＋（ｍ・ｃ）^2）
２・ｋ0・ｄｋ0＝２・ｋ・ｄｋ
∴ｄｋ0／ｄｋ＝（ｄω／ｄｋ）／ｃ＝ｋ／ｋ0＝ｃ・ｋ／ω
位相速度 Ｖｐ＝ω／ｋ
｜Ｖｐ｜＝ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＞ｃ
群速度 Ｖｇ＝ｄω／ｄｋ＝ｃ＾2・ｋ／ω
｜Ｖｇ｜＝ｃ^2／（ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2））
＝ｃ／√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＜ｃ
＝ｃ・ｋ／√（ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）
ｃｆ２)低エネルギー近似
Ｐ0－ｍ・ｃ
＝ √（Pｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ
＝（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ）・（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
＝ Ｐｊ^2／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
Ｐｊ<<ｍ・ｃ より
≒ Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）
Ｐ0＝ｍ・ｃ＋Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）と 、方程式i∂0 ψ＝P0ψ、ーi∂j ψ＝Pjψから
i∂0 ψ＝（ｍ・ｃ＋(１／（２ｍ・ｃ））・（ーi∂j ）^2）ψ
∂0＝(１／ｃ）・∂ｔ＝∂／∂（ｃｔ） より
∴i∂tψ＝（ｍ・ｃ^2ー(１／(２ｍ)）・（∂j ）^2）ψ ：非相対論的シュレーディンガー方程式
フェルマーの法則
ｄｓ＝√（ημνｄｘμｄｘν） ημν：計量テンソル
ｌ＝∫ｄｓ
＝∫（√（ημν・ｄｘμ／ｄτ・ｄｘν／ｄτ））ｄτ
＝∫（√（ημν・ｕμ・ｕν）ｄτ
＝∫Ｌｄτ
を極小値とする軌跡。
変分法により δｌ＝０から
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ－∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０ ：オイラー－ラグランジュ方程式
∂Ｌ／∂ｕ0 ＝２・ｕ0／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ｕ0／ｃ
∂Ｌ／∂ｕｊ ＝－２・ｕｊ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝－ｕｊ／ｃ
ｊ＝１－３
∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０
ｄ（ｕμ／ｃ）／ｄτ＝０
ｕμ ＝ａμ（積分定数） cf) ｕμｕμ ＝ａμａμ＝ｃ2
∴ ｘμ ＝ａμ・τ＋ｂμ（積分定数）
ｘ０ ＝ｃ・ｔ＝ａ０・τ＋ｃ・ｔ0
ｘj ＝ａj・τ＋ｘj 0
ｃ（ｔ－ｔ0）2 －（ｘj －ｘj 0）2 ＝（(ａ０)２－(ａj)２）・τ2＝（ｃ・τ）２
CF)
∂Ｌ／∂ｕμ
＝２・ημν・ｕν ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ＝０ から
ημν・ｕν ／（√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ａμ（積分定数）
√（ημν・ｕμ・ｕν）＝ｄｓ／ｄτ＝ｃ＝ａμ・ｕμ
∴ ａμ・ｘμ ＝ｃ・τ＋ｂ（積分定数）
Ｈ（ハイゼンベルク）－Ｄ（ディラック）方程式
μ＝０、１－３
ｊ＝１－３
Ｐμ：４元運動量ベクタ
Ｘμ：４元位置ベクタ
Ｆμ：４元力ベクタ
Ａ（τ，Ｐμ，Ｘμ）：演算子
τ：固有時＝ｔ／γ
γ：＝１／√（１－β^2） ：β＝Ｖ／ｃ
ｄＡ／ｄτ
＝∂Ａ／∂τ＋（ｄＸｊ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｘｊ
＋（ｄＰμ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｐμ
ｄＸｊ／ｄτ＝Ｐｊ／ｍ
ｄＰμ／ｄτ＝Ｆμ
－ｉ∂Ａ／∂Ｘｊ＝［Ａ，Ｐｊ］
ｉ∂Ａ／∂Ｐμ＝［Ａ，Ｘμ］
∴ｉｄＡ／ｄτ
＝－（Ｐμ／ｍ）・［Ａ，Ｐμ］＋ Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
＝ｉ∂Ａ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ａ，Ｐｊ］
＋ Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
Ex1) Ａ（ｔ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝－［Ａ，ＰｊＰｊ／（２ｍ）］
＝［Ａ，(Ｐ0)^2／（２ｍ）］ ∵ ＰμＰμ＝（ｍ・ｃ）^2 ：定数
ｉ・γ・ｄＡ／ｄｔ
＝（［Ａ，Ｐ0］Ｐ0＋Ｐ0［Ａ，Ｐ0］）／（２ｍ）
γ≒１のとき
ｉｄＡ／ｄｔ＝［Ａ，ｃ・Ｐ0］ ：ｃ・Ｐ0＝Ｈ
Ex2) Ａ（Ｘμ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝－（Ｐj／ｍ）・［Ａ，Ｐj］
＝（（Ｐj）^2／ｍ）Ａ
（(Ｐ0)^2）Ａ＝（（Ｐj）^2）Ａ
Ex3) Ａ（Ｐμ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
＝－（ＦμＸμ）Ａ
Ex4) Ａ＝Ｈ（ハミルトニアン）の場合
ｉｄＨ／ｄτ
＝ｉ∂Ｈ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ｈ，Ｐｊ］
＋ Ｆμ［Ｈ，Ｘμ］
［Ｈ，Ｐｊ］＝－ｉ∂Ｈ／∂Ｘｊ＝ｉｄＰｊ／ｄτ／γ＝ｉＦｊ／γ
［Ｈ，Ｘμ］＝ｉ∂Ｈ／∂Ｐμ＝ｉｄＸμ／ｄτ／γ
ｉ∂Ｈ／∂τ＝［Ｐ0，Ｈ］＝０ （∵孤立系） より
ｄＨ／ｄτ＝０
ｉｄＰ0／ｄτ
＝ｉ∂Ｐ0／∂τ＋ Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］
Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］＝ｉＦμ（ｄＸμ／ｄｔ）＝０
ｉ∂Ｐ0／∂τ＝［Ｐ0，Ｐ0］＝０ より
ｄＰ0／ｄτ＝０
ローレンツジェネレータ
４元角運動量への拡張
記号
μ,ν,ρ,λ＝0,1-3
Ｘμ：４元位置座標
Ｐν：４元運動量
［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ ：交換子
［Ｐμ，Ｘν］＝ｉΗμν ：計量テンソル プランク定数ｈ＝２π
ローレンツジェネレータ
Ｌμν＝Ｘ[μＰν]＝ＸμＰν－ＸνＰμ ：[ ] 反対称化の置換記号
＝－Ｘ[νＰμ]＝－Ｌνμ
交換関係［Ｌμν，Ｌρλ］
＝［Ｘ[μＰν]，Ｘ[ρＰλ]］
＝Ｘ[μＰν] Ｘ[ρＰλ]－Ｘ[ρＰλ]Ｘ[μＰν]
ここで、
Ｘ[μＰν] Ｘ[ρＰλ]
＝Ｘ[μ（Ｐν] Ｘ[ρ）Ｐλ] ＋Ｘ[μ |Ｘ[ρ|Ｐν]Ｐλ]
＝Ｘ[μ（Ｘ[ρ|Ｐν] ＋ｉΗν][ρ）Ｐλ]＋Ｘ[ρ Ｘ[μＰν]Ｐλ] ：ＰνＸρ＝ＸρＰν＋ｉΗνρ
＝２・Ｘ[ρＸ[μＰν]Ｐλ] ＋ｉＸ[μΗν][ρＰλ]
Ｘ[ρＰλ]Ｘ[μＰν] :μとρ、νとλの入れ替え
＝２・Ｘ[μＸ[ρＰλ]Ｐν] ＋ｉＸ[ρΗλ][μＰν]
＝２・Ｘ[ρＸ[μＰν]Ｐλ] ＋ｉＸ[ρΗλ][μＰν]
∴ Ｘ[μＰν] Ｘ[ρＰλ]－Ｘ[ρＰλ]Ｘ[μＰν]
＝ｉ（Ｘ[μΗν][ρＰλ]－Ｘ[ρΗλ][μＰν]）
Ｍμνρλ＝ＸμΗνρＰλ＝ＸμΗρνＰλ＝Ｍμρνλ
とおく
Ｘ[μΗν][ρＰλ]－Ｘ[ρΗλ][μＰν]
＝Ｍ[μν][ρλ]－Ｍ[ρλ][μν]
＝Ｍ[μν][ρλ]－Ｍ[λρ][νμ]
ここで、[ ]は忘れて
Ｍμνρλ－Ｍλρνμ
＝ＸμΗνρＰλ－ＸλΗρνＰμ
＝Ηνρ（ＸμＰλ－ＸλＰμ） ：Ηνρ＝Ηρν
＝ΗνρＸ[μＰλ]
＝ΗρνＬμλ
∴Ｍ[μν][ρλ]－Ｍ[λρ][νμ]
＝Η[ρ[νＬμ]λ]
［Ｌμν，Ｌρλ］＝ｉΗ[ρ[νＬμ]λ]
＝－ｉΗ[ρ[μＬν]λ]
＝ｉΗ[μ[ρＬλ]ν]
右辺＝ｉ（Ημ[ρＬλ]ν－Ην[ρＬλ]μ）
＝ｉ（ΗμρＬλν－ΗμλＬρν－ΗνρＬλμ＋ΗνλＬρμ）
＝ｉ（ΗμρＬλν＋ΗμλＬνρ＋ΗνρＬμλ＋ΗνλＬρμ）
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