ｄｓ＝√（ημνｄｘμｄｘν）　　ημν：計量テンソル

ｌ＝∫ｄｓ

　＝∫（√（ημν・ｄｘμ／ｄτ・ｄｘν／ｄτ））ｄτ

　＝∫（√（ημν・ｕμ・ｕν）ｄτ

　＝∫Ｌｄτ

を極小値とする軌跡。

変分法により　δｌ＝０から　

ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ－∂Ｌ／∂ｄｘμ　＝０　　：オイラー－ラグランジュ方程式

∂Ｌ／∂ｕ0 ＝２・ｕ0／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ｕ0／ｃ

∂Ｌ／∂ｕｊ ＝－２・ｕｊ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝－ｕｊ／ｃ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｊ＝１－３

∂Ｌ／∂ｄｘμ　＝０

ｄ（ｕμ／ｃ）／ｄτ＝０

　　ｕμ　＝ａμ（積分定数）      cf) ｕμｕμ　＝ａμａμ＝ｃ2

∴　ｘμ　＝ａμ・τ＋ｂμ（積分定数）

　　ｘ０　＝ｃ・ｔ＝ａ０・τ＋ｃ・ｔ0

    ｘj　＝ａj・τ＋ｘj　0

　　ｃ（ｔ－ｔ0）2　－（ｘj　－ｘj　0）2　＝（(ａ０)２－(ａj)２）・τ2＝（ｃ・τ）２

CF)

  ∂Ｌ／∂ｕμ

　　＝２・ημν・ｕν　／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））

　ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ＝０　から

　ημν・ｕν　／（√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ａμ（積分定数）

　√（ημν・ｕμ・ｕν）＝ｄｓ／ｄτ＝ｃ＝ａμ・ｕμ

∴　ａμ・ｘμ　＝ｃ・τ＋ｂ（積分定数）

μ＝０、１－３

ｊ＝１－３

Ｐμ：４元運動量ベクタ

Ｘμ：４元位置ベクタ

Ｆμ：４元力ベクタ

Ａ（τ，Ｐμ，Ｘμ）：演算子

τ：固有時＝ｔ／γ

γ：＝１／√（１－β^2）　：β＝Ｖ／ｃ

ｄＡ／ｄτ

＝∂Ａ／∂τ＋（ｄＸｊ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｘｊ

　　　　　　＋（ｄＰμ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｐμ

　ｄＸｊ／ｄτ＝Ｐｊ／ｍ

　ｄＰμ／ｄτ＝Ｆμ　

－ｉ∂Ａ／∂Ｘｊ＝［Ａ，Ｐｊ］

　ｉ∂Ａ／∂Ｐμ＝［Ａ，Ｘμ］

∴ｉｄＡ／ｄτ

＝－（Ｐμ／ｍ）・［Ａ，Ｐμ］＋　Ｆμ［Ａ，Ｘμ］

＝ｉ∂Ａ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ａ，Ｐｊ］

　　　　　　　＋　Ｆμ［Ａ，Ｘμ］

Ex1) Ａ（ｔ）の場合

ｉｄＡ／ｄτ

＝－［Ａ，ＰｊＰｊ／（２ｍ）］

＝［Ａ，(Ｐ0)^2／（２ｍ）］  　∵　ＰμＰμ＝（ｍ・ｃ）^2　：定数

ｉ・γ・ｄＡ／ｄｔ

＝（［Ａ，Ｐ0］Ｐ0＋Ｐ0［Ａ，Ｐ0］）／（２ｍ）

γ≒１のとき

ｉｄＡ／ｄｔ＝［Ａ，ｃ・Ｐ0］　　　：ｃ・Ｐ0＝Ｈ

Ex2) Ａ（Ｘμ）の場合

ｉｄＡ／ｄτ

＝－（Ｐj／ｍ）・［Ａ，Ｐj］

＝（（Ｐj）^2／ｍ）Ａ

（(Ｐ0)^2）Ａ＝（（Ｐj）^2）Ａ

Ex3) Ａ（Ｐμ）の場合

ｉｄＡ／ｄτ

＝Ｆμ［Ａ，Ｘμ］

＝－（ＦμＸμ）Ａ

Ex4) Ａ＝Ｈ（ハミルトニアン）の場合

ｉｄＨ／ｄτ

＝ｉ∂Ｈ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ｈ，Ｐｊ］

　　　　　　　＋　Ｆμ［Ｈ，Ｘμ］

［Ｈ，Ｐｊ］＝－ｉ∂Ｈ／∂Ｘｊ＝ｉｄＰｊ／ｄτ／γ＝ｉＦｊ／γ

［Ｈ，Ｘμ］＝ｉ∂Ｈ／∂Ｐμ＝ｉｄＸμ／ｄτ／γ　

ｉ∂Ｈ／∂τ＝［Ｐ0，Ｈ］＝０　（∵孤立系）　より

　ｄＨ／ｄτ＝０

ｉｄＰ0／ｄτ

＝ｉ∂Ｐ0／∂τ＋　Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］

 Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］＝ｉＦμ（ｄＸμ／ｄｔ）＝０

ｉ∂Ｐ0／∂τ＝［Ｐ0，Ｐ0］＝０　　より

　ｄＰ0／ｄτ＝０