ローレンツ変換と反ローレンツ変換
ローレンツ変換と四元数
ハミルトン氏の四元数 Ｉμ ：μ＝０～３
(Ｉ0)2＝Ｉ0
(Ｉｊ)2＝－Ｉ0 ：j＝１～３
ＩｊＩk ＝－δjkＩ0 ＋εjkl Ｉｌ
: δjk デルタ記号 ｊ＝ｋのとき１、そうでないとき０
：εjkl 完全反対称テンソルε123＝+１ ε132＝-１ etc
交換関係
［Ｉj,Ｉk］ j,k,l=1～3
＝ＩjＩk－ＩkＩj
＝（－δjkＩ0＋ εｊｋｌＩｌ）－（－δkjＩ0 ＋εｋｊｌＩｌ）
＝２・εｊｋｌＩｌ
［Ｉ0,Ｉμ］ μ=0～3
＝０
Ｘ＝ｘjＩj ：j=1～３
Ｘ２＝－ρ2Ｉ0
exp（Ｘ）＝Ｉ0 cosρ＋（Ｘ／ρ）sinρ
ρ＝√（ｘjｘj）＝π／２とする。 π：円周率
ｘ1＝ρcosθ
ｘ2＝ρsinθcosφ
ｘ3＝ρsinθsinφ
位置ベクトル
Ｚ＝ｚjＩj
＝ｒ・（２Ｘ／π）＝ｒexp（Ｘ） ｒ：動径
ｚ1＝ｒcosθ
ｚ2＝ｒsinθcosφ
ｚ3＝ｒsinθsinφ
単位方向ベクトル
Ｎ＝ｎjＩj
Ｎ２＝－１＝－ｎjｎj
四元数Ａ＝（Ａ）＋＜Ａ＞
（Ａ） ：スカラ
＜Ａ＞ ：ベクトル
Ｉ0＝１とする。
ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞
スカラ積
（ＺＮ）＝（ＮＺ）＝－ｚjｎj
ベクトル積
＜ＺＮ＞＝－＜ＮＺ＞
＝（ｚjnk－ｚkｎj）ＩjＩk
＝（ｚjnk－ｚkｎj）εｊｋｌＩｌ：
ここから本題
・Ｓ系
Ｗ＝ｘ0N＋Ｚ
Ｗ~＝ｘ0N－Ｚ
ＷＷ~＝ｘ0ｘ0N2－Ｚ2＋ｘ0[Ｚ,Ｎ]
[Ｚ,Ｎ]＝ＺＮ－ＮＺ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞－（ＮＺ）－＜ＮＺ＞＝２＜ＺＮ＞
＝[ｘjＩj,ｎkＩk]＝２ｚjｎkεｊｋｌＩｌ
Ｚ//Ｎならば＜ＺＮ＞＝０ [Ｚ,Ｎ]＝０
∴ ＷＷ~＝－（ｘ0）2＋ｒ2
・Ｓ’系
Ｗ'＝ｘ'0N＋Ｚ'
Ｗ'~＝ｘ'0N－Ｚ'
Ｚ'//Ｎならば＜Ｚ'Ｎ＞＝０ [Ｚ',Ｎ]＝０
∴ Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2
Ｚ//Ｚ'//Ｎ のとき
Ｗ'Ｗ'~＝－（ｘ'0）2＋ｒ'2＝－（ｘ0）2＋ｒ2＝ＷＷ~
η：ラピディティ
exp(η) exp(-η)：スカラ
Ｗ'＝exp(η)W or exp(-η)Ｗ
Ｗ'~＝exp(-η)W～ or exp(η)Ｗ~
ｘ'0N＋Ｚ'＝exp(η)[ｘ0N＋Ｚ] or exp(-η)[ｘ0N＋Ｚ]
ｘ'0N－Ｚ'＝exp(-η)[ｘ0N－Ｚ] or exp(η)[ｘ0N－Ｚ]
二式の加算
ｘ'0N＝cosh(η)ｘ0N±sinh(η)Ｚ
－ｘ'0＝－cosh(η)ｘ0±sinh(η)ＺＮ
ＺＮ＝（ＺＮ）＋＜ＺＮ＞＝－｜Ｚ｜＝－ｒ
∴ｘ'0＝ｘ0 cosh(η)±ｒ sinh(η)
二式の減算
Ｚ'＝±sinh(η)ｘ0N＋cosh(η)Ｚ
Ｚ'Ｎ＝±sinh(η)ｘ0（－１）＋cosh(η)ＺＮ
Ｚ'Ｎ＝（Ｚ'Ｎ）＋＜Ｚ'Ｎ＞＝－｜Ｚ'｜＝－ｒ'
∴ｒ'＝ｒ cosh(η)±ｘ0 sinh(η)
クライン－ゴルドン方程式
基本関係式 Ｐ0＾2＝Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2 j=1～３
基本方程式 i∂μψ＝Pμψ μ＝0,1～3
i∂0 ψ＝P0ψ から
－(∂0)＾2ψ＝P0^2ψ＝（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ
Pjψ＝ーi∂j ψ を代入
－(∂0)＾2ψ＝－（∂j）＾2ψ＋（ｍ・ｃ）^2ψ
∴ （□＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
□≡(∂0)＾2ー（∂j）＾2＝∂μ∂μ
ｃｆ１)分散関係
ψ∝exp（iｋμ・ｘμ）
ｋ0＝ω／ｃ ω：角周波数
ｋ1＝２π／λ1＝ｋ λ1：波長
ｋ2＝０
Ｋ3＝０ とする
（ーｋ0＾２＋ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０
∴ｋ0＾２＝ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2 ：ω＝±ｃ√（ｋ＾2＋（ｍ・ｃ）^2）
２・ｋ0・ｄｋ0＝２・ｋ・ｄｋ
∴ｄｋ0／ｄｋ＝（ｄω／ｄｋ）／ｃ＝ｋ／ｋ0＝ｃ・ｋ／ω
位相速度 Ｖｐ＝ω／ｋ
｜Ｖｐ｜＝ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＞ｃ
群速度 Ｖｇ＝ｄω／ｄｋ＝ｃ＾2・ｋ／ω
｜Ｖｇ｜＝ｃ^2／（ｃ√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2））
＝ｃ／√（１＋（ｍ・ｃ／ｋ）^2） ＜ｃ
＝ｃ・ｋ／√（ｋ^2＋（ｍ・ｃ）^2）
ｃｆ２)低エネルギー近似
Ｐ0－ｍ・ｃ
＝ √（Pｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ
＝（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）－ｍ・ｃ）・（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
＝ Ｐｊ^2／（√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）＋ｍ・ｃ）
Ｐｊ<<ｍ・ｃ より
≒ Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）
Ｐ0＝ｍ・ｃ＋Ｐｊ^2／（２ｍ・ｃ）と 、方程式i∂0 ψ＝P0ψ、ーi∂j ψ＝Pjψから
i∂0 ψ＝（ｍ・ｃ＋(１／（２ｍ・ｃ））・（ーi∂j ）^2）ψ
∂0＝(１／ｃ）・∂ｔ＝∂／∂（ｃｔ） より
∴i∂tψ＝（ｍ・ｃ^2ー(１／(２ｍ)）・（∂j ）^2）ψ ：非相対論的シュレーディンガー方程式
フェルマーの法則
ｄｓ＝√（ημνｄｘμｄｘν） ημν：計量テンソル
ｌ＝∫ｄｓ
＝∫（√（ημν・ｄｘμ／ｄτ・ｄｘν／ｄτ））ｄτ
＝∫（√（ημν・ｕμ・ｕν）ｄτ
＝∫Ｌｄτ
を極小値とする軌跡。
変分法により δｌ＝０から
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ－∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０ ：オイラー－ラグランジュ方程式
∂Ｌ／∂ｕ0 ＝２・ｕ0／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ｕ0／ｃ
∂Ｌ／∂ｕｊ ＝－２・ｕｊ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））＝－ｕｊ／ｃ
ｊ＝１－３
∂Ｌ／∂ｄｘμ ＝０
ｄ（ｕμ／ｃ）／ｄτ＝０
ｕμ ＝ａμ（積分定数） cf) ｕμｕμ ＝ａμａμ＝ｃ2
∴ ｘμ ＝ａμ・τ＋ｂμ（積分定数）
ｘ０ ＝ｃ・ｔ＝ａ０・τ＋ｃ・ｔ0
ｘj ＝ａj・τ＋ｘj 0
ｃ（ｔ－ｔ0）2 －（ｘj －ｘj 0）2 ＝（(ａ０)２－(ａj)２）・τ2＝（ｃ・τ）２
CF)
∂Ｌ／∂ｕμ
＝２・ημν・ｕν ／（２・√（ημν・ｕμ・ｕν））
ｄ（∂Ｌ／∂ｕμ）／ｄτ＝０ から
ημν・ｕν ／（√（ημν・ｕμ・ｕν））＝ａμ（積分定数）
√（ημν・ｕμ・ｕν）＝ｄｓ／ｄτ＝ｃ＝ａμ・ｕμ
∴ ａμ・ｘμ ＝ｃ・τ＋ｂ（積分定数）
Ｈ（ハイゼンベルク）－Ｄ（ディラック）方程式
μ＝０、１－３
ｊ＝１－３
Ｐμ：４元運動量ベクタ
Ｘμ：４元位置ベクタ
Ｆμ：４元力ベクタ
Ａ（τ，Ｐμ，Ｘμ）：演算子
τ：固有時＝ｔ／γ
γ：＝１／√（１－β^2） ：β＝Ｖ／ｃ
ｄＡ／ｄτ
＝∂Ａ／∂τ＋（ｄＸｊ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｘｊ
＋（ｄＰμ／ｄτ）∂Ａ／∂Ｐμ
ｄＸｊ／ｄτ＝Ｐｊ／ｍ
ｄＰμ／ｄτ＝Ｆμ
－ｉ∂Ａ／∂Ｘｊ＝［Ａ，Ｐｊ］
ｉ∂Ａ／∂Ｐμ＝［Ａ，Ｘμ］
∴ｉｄＡ／ｄτ
＝－（Ｐμ／ｍ）・［Ａ，Ｐμ］＋ Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
＝ｉ∂Ａ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ａ，Ｐｊ］
＋ Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
Ex1) Ａ（ｔ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝－［Ａ，ＰｊＰｊ／（２ｍ）］
＝［Ａ，(Ｐ0)^2／（２ｍ）］ ∵ ＰμＰμ＝（ｍ・ｃ）^2 ：定数
ｉ・γ・ｄＡ／ｄｔ
＝（［Ａ，Ｐ0］Ｐ0＋Ｐ0［Ａ，Ｐ0］）／（２ｍ）
γ≒１のとき
ｉｄＡ／ｄｔ＝［Ａ，ｃ・Ｐ0］ ：ｃ・Ｐ0＝Ｈ
Ex2) Ａ（Ｘμ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝－（Ｐj／ｍ）・［Ａ，Ｐj］
＝（（Ｐj）^2／ｍ）Ａ
（(Ｐ0)^2）Ａ＝（（Ｐj）^2）Ａ
Ex3) Ａ（Ｐμ）の場合
ｉｄＡ／ｄτ
＝Ｆμ［Ａ，Ｘμ］
＝－（ＦμＸμ）Ａ
Ex4) Ａ＝Ｈ（ハミルトニアン）の場合
ｉｄＨ／ｄτ
＝ｉ∂Ｈ／∂τ－（Ｐｊ／ｍ）・［Ｈ，Ｐｊ］
＋ Ｆμ［Ｈ，Ｘμ］
［Ｈ，Ｐｊ］＝－ｉ∂Ｈ／∂Ｘｊ＝ｉｄＰｊ／ｄτ／γ＝ｉＦｊ／γ
［Ｈ，Ｘμ］＝ｉ∂Ｈ／∂Ｐμ＝ｉｄＸμ／ｄτ／γ
ｉ∂Ｈ／∂τ＝［Ｐ0，Ｈ］＝０ （∵孤立系） より
ｄＨ／ｄτ＝０
ｉｄＰ0／ｄτ
＝ｉ∂Ｐ0／∂τ＋ Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］
Ｆμ［Ｐ0，Ｘμ］＝ｉＦμ（ｄＸμ／ｄｔ）＝０
ｉ∂Ｐ0／∂τ＝［Ｐ0，Ｐ0］＝０ より
ｄＰ0／ｄτ＝０
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