β=(β1,β2,β3)
βj=Vj/c
内積
A・B=Aj・Bj
単位方向ベクトル nj
n1=β/|β|
n1・n2=0=n1・n3
S系 x=(x1,x2,x3) x0
S’系 x’=(x’1,x’2,x’3) x’0
x’0=coshθ(x0-β・x)
x’ =coshθ(x -βx0)
coshθ=1/√(1-|β|^2)
x’=(x’・n1)n1+x2n2+x3n3
x’・n1=coshθ(x・n1-(β・n1)x0)=coshθ(x1-|β|x0)
x2n2+x3n3=x-x1n1
x’ =coshθ(x1n1 -|β|x0n1)+x-x1n1
=(coshθ-1)x1n1+x-(x0coshθ)β
=(coshθ-1)(x・β)β/|β|^2+x-(x0coshθ)β
∴
x’j=xj+(coshθ-1)(x1β1+x2β2+x3β3)βj/|β|^2-(x0coshθ)βj
x’0=x0coshθ-(β1・x1+β2・x2+β3・x3)coshθ
00成分 : coshθ
0j,j0成分: -βjcoshθ
jk成分: δjk+(coshθ-1)βjβk/|β|^2 j,k=1-3
0行 coshθ -β1coshθ -β2coshθ -β3coshθ
1行 -β1coshθ 1+(coshθ-1)(β1/|β|)^2 (coshθ-1)β1β2/|β|^2 (coshθ-1)β1β3/|β|^2
2行 -β2coshθ (coshθ-1)β2β1/|β|^2 1+(coshθ-1)(β2/|β|)^2 (coshθ-1)β2β3/|β|^2
3行 -β3coshθ (coshθ-1)β3β1/|β|^2 (coshθ-1)β3β2/|β|^2 1+(coshθ-1)(β3/|β|)^2
cf)任意方向(β)の速度変換式
β=(β1,β2,β3) :相対速度V/c
S系での速度ベクトル
v=(v1,v2,v3)
S'系での速度ベクトル
v’=(v’1,v’2,v’3)
=(√(1-|β|^2))v+(1-√(1-|β|^2))(v・β)β/|β|^2 -cβ
/ (1-(β・v/c)
c=1(自然単位系)、B=β・v=v・βとして
|v’|^2
=(1-|β|^2))|v|^2
+(1-2・√(1-|β|^2)+(1-|β|^2))B^2/|β|^2
+|β|^2
+2・(√(1-|β|^2))-(1-|β|^2))B^2/|β|^2
-2・(1-√(1-|β|^2))B
-2・(√(1-|β|^2))B
/ (1-2B+B^2)
|v’|^2 -1
= (1-|β|^2))|v|^2
+ (1-(1-|β|^2))B^2/|β|^2 -B^2 ・・・(1)
+|β|^2 -1
-2・(1-√(1-|β|^2))B -2・(√(1-|β|^2))B +2B ・・・(2)
/ (1-B)^2
分子(1)と(2)はきれいに相殺して
|v’|^2 -1 =(1-|β|^2))(|v|^2-1)/(1-β・v)^2
1≧|β|^2で、分母が正であるから、
位相速度: |v|^2 ≧1 ならば |v’|^2 ≧1
群速度 : |v|^2 ≦1 ならば |v’|^2 ≦1
ローレンツ転換
記号
ミンコフスキー計量テンソルη=(ξ)^2
ηab
=1 (a=b=0
-1 (a=b=1,2,3)
0 (a≠b)
ξab
=1 (a=b=0
ⅰ (a=b=1,2,3)
0 (a≠b)
転換前
基本関係式
(X’0)^2+(X’1)^2+(X’2)^2+(X’3)^2=(X0)^2+(X1)^2+(X2)^2+(X3)^2
X1方向
X’0=X0・cosθ-X1・sinθ
X’1=X0・sinθ+X1・cosθ
X’2=X2
X’3=X3
tanθ=V/c
S^2=(X’0)^2+(X’1)^2=(X0)^2+(X1)^2=0 のとき、
X0=X1=0
転換式
Xμ→ξ・Xμ (X0→X0,X1→ⅰ・X1,X2→ⅰ・X2,X3→ⅰ・X3)
X’μ→ξ・X’μ (X’0→X’0,X’1→ⅰ・X’1,X’2→ⅰ・X’2,X’3→ⅰ・X’3)
θ →ⅰ・θ
cos(ⅰ・θ)=(exp(-θ)+exp(θ))/2=coshθ
sin(ⅰ・θ)=(exp(-θ)-exp(θ))/(2・ⅰ)=ⅰ・sinhθ
または β →ⅰ・β
cos(ⅰ・θ)=1/√(1+(ⅰ・β)^2)=1/√(1-β^2)
sin(ⅰ・θ)=(ⅰ・β)/√(1+(ⅰ・β)^2)=(ⅰ・β)/√(1-β^2)
転換後
X1方向ブースト
X’0=X0・coshθ-ⅰ・X1(ⅰ・sinhθ)
=X0・coshθ+X1・sinhθ)
i・X’1=ⅰ・X1・coshθ+X0・(ⅰ・sinhθ)
X’1=X1・coshθ+X0・sinhθ
ⅰ・X’2=ⅰ・X2
ⅰ・X’3=i・X3
tanhθ=-V/c
S^2=(X’0)^2-(X’1)^2=(X0)^2-(X1)^2=0 のとき、
±X0=X1
Ex)交換関係
転換前 [P1,X1]=[P0,X0]=i
[P1,X1]=[P’1・cosθ+P’0・sinθ,X’1・cosθ+X’0・sinθ]
=[P’1,X’1]・(cosθ)^2 +[P’0,X’0]・(sinθ)^2
cf) [P’1,X’0]+[P’0,X’1]=0
[P0,X0]=[P’0・cosθ+P’1・sinθ,X’0・cosθ+X’1・sinθ]
=[P’0,X’0]・(cosθ)^2 +[P’1,X’1]・(sinθ)^2
転換式
X’μ→ξ・X’μ (X’0→X’0,X’1→ⅰ・X’1,X’2→ⅰ・X’2,X’3→ⅰ・X’3)
P’μ→ξ・P’μ (P’0→P’0,P’1→ⅰ・P’1,P’2→ⅰ・P’2,P’3→ⅰ・P’3)
θ →ⅰ・θ または β →ⅰ・β
転換後
[i・P1,i・X1]
=[ⅰ・P’1,ⅰ・X’1]・(coshθ)^2 +[P’0,X’0]・(ⅰ・sinhθ)^2
=-[P’1,X’1]・(coshθ)^2 -[P’0,X’0]・(sinhθ)^2
=i
[P0,X0]
=[P’0,X’0]・(coshθ)^2 +[i・P’1,i・X’1]・(ⅰ・sinhθ)^2
=[P’0,X’0]・(coshθ)^2 +[P’1,X’1]・(sinhθ)^2
=i
[P’1,X’1]=A [P’0,X’0]=Bとおくと、
(coshθ)^2・A+(sinhθ)^2・B=-i
(sinhθ)^2・A+(coshθ)^2・B=i
T(θ)
=( (coshθ)^2 (sinhθ)^2
(sinhθ)^2 (coshθ)^2 )
detT(θ)=(coshθ)^4-(sinhθ)^4=(coshθ)^2+(sinhθ)^2
逆行列Tinv(θ)
=(1/detT(θ))
×( (coshθ)^2 -(sinhθ)^2
-(sinhθ)^2 (coshθ)^2 )
(A
B)
=Tinv(θ)
×(-i
i)
∴ A=-i B=i
定義
Λ ̄μν=[P ̄μ,X ̄ν]
テンソルの変換則
Λ’ ̄μν=(∂X’ ̄μ/∂X ̄ρ)・(∂X’ ̄ν/∂X ̄ξ)・Λ ̄ρξ
計算
X1方向のローレンツブースト
βj=vj/c
V=v1
γ=1/√(1-(β1)^2)
coshθ=γ
sinhθ=γ・β1
00成分
Λ’ ̄00=(coshθ)^2・Λ ̄00-coshθ・sinhθ・(Λ ̄01+Λ ̄10)+(sinhθ)^2・Λ ̄11=Λ ̄00
01,10成分
Λ’ ̄01=(coshθ)^2・Λ ̄01-coshθ・sinhθ・(Λ ̄00+Λ ̄11)+(sinhθ)^2・Λ ̄10=Λ ̄01=-Λ ̄10
02,20成分
Λ’ ̄02=coshθ・Λ ̄02-sinhθ・Λ ̄12=coshθ・Λ ̄02=-Λ ̄20
03,30成分
Λ’ ̄03=coshθ・Λ ̄03-sinhθ・Λ ̄13=coshθ・Λ ̄03=-Λ ̄30
11成分
Λ’ ̄11=(coshθ)^2・Λ ̄11-coshθ・sinhθ・(Λ ̄01+Λ ̄10)+(sinhθ)^2・Λ ̄00=Λ ̄11
12,21成分
Λ’ ̄12= coshθ・Λ ̄12-sinhθ・Λ ̄02=-sinhθ・Λ ̄02=-Λ ̄21
13,31成分
Λ’ ̄13= coshθ・Λ ̄13-sinhθ・Λ ̄03=-sinhθ・Λ ̄03=-Λ ̄31
22成分
Λ’ ̄22=Λ ̄22
23,32成分
Λ’ ̄23=Λ ̄23
33成分
Λ’ ̄33=Λ ̄33
まとめ
Λ ̄jj=-i Λ ̄00=i
Λ ̄0j=-i・βj=-Λ ̄j0
Λ ̄jk=0 (j≠k)
(i -i・β1 -i・γ・β2 -i・γ・β3
i・β1 -i i・γ・β1・β2 i・γ・β1・β3
i・γ・β2 -i・γ・β1・β2 -i 0
i・γ・β3 -i・γ・β1・β3 0 -i )
∴ Λ’ ̄μν=i・(η ̄μν-γ・L ̄μν)
L ̄μν=-L ̄νμ=0
L ̄01=β1/γ
L ̄02=β2
L ̄03=β3
L ̄12=-β1・β2
L ̄13=-β1・β3
Λ ̄01+Λ ̄10 =0 → P ̄0≒P ̄1 のとき、L ̄01=-L ̄10=1
・任意方向β=(β1, β2,β3)の場合
β^2=βj・βj=β1・β1+β2・β2+β2・β2
γ=1/√(1-β^2)
Λ ̄μν=i・(η ̄μν -λ ̄μν)
λ ̄jk=0 j,k=1-3
L ̄μν=-L ̄νμ=0
L ̄0j=λ ̄0j-(1-1/γ)・(λ ̄0k・βk)・βj/β^2 j=1-3
L ̄jk=-(βj・λ ̄0k-βk・λ ̄0j)
j,k=1-3
λ ̄0j=βjの場合
L ̄jk=0 j,k=1-3
Λ’ ̄0j=-i・(Vj/c) j=1-3
ハミルトン氏の四元数 Iμ :μ=0~3
(I0)2=I0
(Ij)2=-I0 :j=1~3
IjIk =-δjkI0 +εjkl Il
: δjk デルタ記号 j=kのとき1、そうでないとき0
:εjkl 完全反対称テンソルε123=+1 ε132=-1 etc
交換関係
[Ij,Ik] j,k,l=1~3
=IjIk-IkIj
=(-δjkI0+ εjklIl)-(-δkjI0 +εkjlIl)
=2・εjklIl
[I0,Iμ] μ=0~3
=0
X=xjIj :j=1~3
X2=-ρ2I0
exp(X)=I0 cosρ+(X/ρ)sinρ
ρ=√(xjxj)=π/2とする。 π:円周率
x1=ρcosθ
x2=ρsinθcosφ
x3=ρsinθsinφ
位置ベクトル
Z=zjIj
=r・(2X/π)=rexp(X) r:動径
z1=rcosθ
z2=rsinθcosφ
z3=rsinθsinφ
単位方向ベクトル
N=njIj
N2=-1=-njnj
四元数A=(A)+<A>
(A) :スカラ
<A> :ベクトル
I0=1とする。
ZN=(ZN)+<ZN>
スカラ積
(ZN)=(NZ)=-zjnj
ベクトル積
<ZN>=-<NZ>
=(zjnk-zknj)IjIk
=(zjnk-zknj)εjklIl:
ここから本題
・S系
W=x0N+Z
W~=x0N-Z
WW~=x0x0N2-Z2+x0[Z,N]
[Z,N]=ZN-NZ=(ZN)+<ZN>-(NZ)-<NZ>=2<ZN>
=[xjIj,nkIk]=2zjnkεjklIl
Z//Nならば<ZN>=0 [Z,N]=0
∴ WW~=-(x0)2+r2
・S’系
W'=x'0N+Z'
W'~=x'0N-Z'
Z'//Nならば<Z'N>=0 [Z',N]=0
∴ W'W'~=-(x'0)2+r'2
Z//Z'//N のとき
W'W'~=-(x'0)2+r'2=-(x0)2+r2=WW~
η:ラピディティ
exp(η) exp(-η):スカラ
W'=exp(η)W or exp(-η)W
W'~=exp(-η)W~ or exp(η)W~
x'0N+Z'=exp(η)[x0N+Z] or exp(-η)[x0N+Z]
x'0N-Z'=exp(-η)[x0N-Z] or exp(η)[x0N-Z]
二式の加算
x'0N=cosh(η)x0N±sinh(η)Z
-x'0=-cosh(η)x0±sinh(η)ZN
ZN=(ZN)+<ZN>=-|Z|=-r
∴x'0=x0 cosh(η)±r sinh(η)
二式の減算
Z'=±sinh(η)x0N+cosh(η)Z
Z'N=±sinh(η)x0(-1)+cosh(η)ZN
Z'N=(Z'N)+<Z'N>=-|Z'|=-r'
∴r'=r cosh(η)±x0 sinh(η)