ローレンツ変換と反ローレンツ変換

ローレンツ変換行列


 相対速度Vj(j=1-3

 βj=Vj/c

 |β|^2=Vj・Vj/c^2

 γ=1/√(1-|β|^2

 

j=γ・(xj-(Vj/c)・x0

’0=γ・(x0 -Vj・xj/c)

 

 1/x1=V2/x2=V3/x3

Vj・xj=|Vj|・|xj|

|Vj|=√(V12+V22+V32

|xj|=√(x12+x22+x32

 

 

j・x

=γ^2・(xj・xj-2・(Vj・xj/c)・x0+(Vj/c)^2(0)^2

 

’0・x’0

=γ^2・(x0・x0 -2・(Vj・xj/c)・x0 -(Vj・xj/c)^2

 

(Vj・xj/c)^2=(|Vj|^2・|xj|^2)/c^2

 

変換行列L(γ,β)=L(β)=L(β1,β2,β3

 

 L(β)

=γ×

(1  -β1   -β2   -β3 

 -β1    1  0   0

 -β2   0  1   0

 -β3   0  0   1)

 

ミンコフスキー計量テンソル[η]μν

 η00=1

 η0j=ηj0=0

 ηij=-δij   i,j1-3

 

転置記号:  ̄t

 

(ηL(β)) ̄t

=γ×

(1  +β1   +β2   +β3 

 -β1   -1  0   0

 -β2   0 -1   0

 -β3   0  0  -1)

 

 

(ηL(β)) ̄t L(β)

=γ^2×

(1-β^2  0      0      0

 0    β1^2-1  β1・β2   β1・β3

 0    β1・β2   β2^2-1  β2・β3

 0    β1・β3   β2・β3   β3^2-1)

 

X=Xμ=(X0,1,2,3

 

=L(β)X

(’)†=(ηL(β)X) ̄t

 

 

Let’s 計算!

 

(’)†X

=X ̄t(ηL(β)X) ̄t L(β)X

=X ̄t L(β)η L(β)X

=X†X

 

β1・β2・X1・X2=(β1・X2^2=(β2・X1^2

β2・β3・X2・X3=(β2・X3^2=(β3・X2^2

β3・β1・X3・X1=(β3・X1^2=(β1・X3^2

                                                                                                                以上

任意方向(β)のローレンツ変換


 β=(β1,β2,β3

 βjVj/c

 

 内積

 ABAjBj

 

 単位方向ベクトル j

 n1=β/|β|

 n1・n2=0=n1・n3

 

S系 x=(x1,x2,x3) x0

系 x=(x’1,x’2,x’3) x’0

 

 x’0coshθ(x0-β・x)

 xcoshθ(x -βx0

  coshθ=1/√(1-|β|^2

 

 x=(x・n1)n1+x22+x33

 

 x・n1coshθ(x・n1-(β・n1)x0)=coshθ(x1|β|0

 x22+x33=x-x11

 

 xcoshθ(x11 |β|01)+x-x11

   =(coshθ-1)x11+x-(x0coshθ)β

   =(coshθ-1)(x・β)β/|β|^2+x-(x0coshθ)β

 

 x’j=xj+(coshθ-1)(x1β1+x2β2+x3β3)βj|β|^2-(x0coshθ)βj

 

 x’0=x0coshθ-(β1・x1+β2・x2+β3・x3coshθ

 

00成分  : coshθ

0j,j0成分: -βjcoshθ

jk成分: δjk+(coshθ-1)βjβk|β|^2   j,k=1-3

0行 coshθ   -β1coshθ  -β2coshθ  -β3coshθ

 

1行 -β1coshθ 1+(coshθ-1)(β1|β|^2 (coshθ-1)β1β2|β|^2  (coshθ-1)β1β3|β|^2

 

2行 -β2coshθ (coshθ-1)β2β1|β|^2 1+(coshθ-1)(β2|β|^2   (coshθ-1)β2β3|β|^2

 

3行 -β3coshθ (coshθ-1)β3β1|β|^2 (coshθ-1)β3β2|β|^2  1+(coshθ-1)(β3|β|^2   

 

cf)任意方向(β)の速度変換式

β=(β1,β2,β3) :相対速度V/


S系での速度ベクトル

=(v1,2,3


'系での速度ベクトル

v’=(v’1,v’2,v’3

 =(√(1-|β^2)+(1-√(1-|β^2)v・ββ/β^2 -cβ

/ 1-(β・v/


c=1(自然単位系)、B=β・v=v・βとして


v’^2

 =(1-|β^2)^2

(1-2・√(1-|β^2)+(1-|β^2)^2/β^2

+|β^2 

+2・(√(1-|β^2))-(1-|β^2)^2/β^2 

-2・(1-√(1-|β^2)

-2・(√(1-|β^2)

 / 1-2B+B^2


v’^2 -1

 = (1-|β^2)^2 

+ (1-(1-|β^2)^2/β^2 -B^2   ・・・(1)

  +|β^2 -1

-2・(1-√(1-|β^2)B -2・(√(1-|β^2)B +2B ・・・(2)

  / 1-B)^2


分子(1)と(2)はきれいに相殺して

 |v’^2 -1 =(1-|β^2)(|^2-1)1-β・v^2


1≧|β^2で、分母が正であるから、

 位相速度:  |^2 ≧1 ならば |v’^2 ≧

 群速度 :  |^2 ≦1 ならば |v’^2 ≦





ローレンツ転換

ローレンツ転換

 

記号

 ミンコフスキー計量テンソルη=(ξ)^2

 ηab

=1 (a=b=0

-1 (a=b=1,2,3

 0 (ab

 

 ξab

=1 (a=b=0

 ⅰ (a=b=1,2,3

 0 (ab

 

転換前

 基本関係式

 (’0)^2(’1)^2(’2)^2(’3)^2(0)^2(1)^2(2)^2(3)^2

 

 X1方向

   X’0=X0・cosθ-X1・sinθ

   X’1=X0・sinθ+X1・cosθ

   X’2=X2

   X’3=X3

          tanθ=V/c

 

 S^2(’0)^2(’1)^2(0)^2(1)^2=0 のとき、

 X0=X1=0

 

 

転換式

  Xμ→ξ・Xμ (X0→X0,X1→ⅰ・X1,X2→ⅰ・X2,X3→ⅰ・X3

  Xμ→ξ・Xμ (X’0→X’0,X’1→ⅰ・X’1,X’2→ⅰ・X’2,X’3→ⅰ・X’3

  θ →ⅰ・θ

 

  cos(ⅰ・θ)=(exp(-θ)+exp(θ))/2=coshθ

  sin(ⅰ・θ)=(exp(-θ)-exp(θ))/(2・ⅰ)=ⅰ・sinhθ

または β →ⅰ・β

  cos(ⅰ・θ)=1/√(1+(ⅰ・β)^2)=1/√(1-β^2

  sin(ⅰ・θ)=(ⅰ・β)/√(1+(ⅰ・β)^2)=(ⅰ・β)/√(1-β^2

 

 

転換後

 X1方向ブースト

   X’0=X0・coshθ-ⅰ・X1(ⅰ・sinhθ)

     =X0・coshθ+X1・sinhθ)

   i・X’1=ⅰ・X1・coshθ+X0・(ⅰ・sinhθ)

   X’1=X1・coshθ+X0・sinhθ

   ⅰ・X’2=ⅰ・X2

   ⅰ・X’3=i・X3

          tanhθ=-V/c

 

 S^2(’0)^2(’1)^2(0)^2(1)^2=0 のとき、

 ±X0=X1

 

 

Ex)交換関係

 転換前 [P1,X1]=[P0,X0=

 

 [P1,X1]=[P’1・cosθ+P’0・sinθ,X’1・cosθ+X’0・sinθ]

       =[P’1,X’1]・(cosθ)^2 +[P’0,X’0]・(sinθ)^2

                 cf)  [P’1,X’0+[P’0,X’1]=0

 

 [P0,X0]=[P’0・cosθ+P’1・sinθ,X’0・cosθ+X’1・sinθ]

       =[P’0,X’0]・(cosθ)^2 +[P’1,X’1]・(sinθ)^2

 

転換式

  Xμ→ξ・Xμ (X’0→X’0,X’1→ⅰ・X’1,X’2→ⅰ・X’2,X’3→ⅰ・X’3

  Pμ→ξ・Pμ (P’0→P’0,P’1→ⅰ・P’1,P’2→ⅰ・P’2,P’3→ⅰ・P’3

  θ →ⅰ・θ または β →ⅰ・β

 

 

 転換後

 [i・P1,i・X1

=[ⅰ・P’1,ⅰ・X’1]・(coshθ)^2 +[P’0,X’0]・(ⅰ・sinhθ)^2

=-[P’1,X’1]・(coshθ)^2 -[P’0,X’0]・(sinhθ)^2

=i

 

 [P0,X0

=[P’0,X’0]・(coshθ)^2 +[i・P’1,i・X’1]・(ⅰ・sinhθ)^2

=[P’0,X’0]・(coshθ)^2 +[P’1,X’1]・(sinhθ)^2

=i

 

[P’1,X’1]=A [P’0,X’0]=Bとおくと、

 

(coshθ)^2・A+(sinhθ)^2・B=-i

(sinhθ)^2・A+(coshθ)^2・B=i

 

T(θ)

=( (coshθ)^2  (sinhθ)^2

   (sinhθ)^2   (coshθ)^2 )

 

detT(θ)=(coshθ)^4-(sinhθ)^4=(coshθ)^2+(sinhθ)^2

 

逆行列Tinv(θ)

=(1/detT(θ))

×( (coshθ)^2  -(sinhθ)^2

  -(sinhθ)^2   (coshθ)^2 )

 

(A

 B)

=Tinv(θ)

×(-i

   i)

 

∴ A=-i B=i

交換関係のローレンツ変換


定義

Λ ̄μν=[P ̄μ,X ̄ν]

 

テンソルの変換則

Λ ̄μν=(∂X ̄μ/∂X ̄ρ)・(∂X ̄ν/∂X ̄ξ)・Λ ̄ρξ

 

計算

 X1方向のローレンツブースト

 βj=vj/c

 V=v1

 γ=1/√(1-(β1^2

 coshθ=γ

 sinhθ=γ・β1

 

00成分

 Λ00=(coshθ)^2・Λ ̄00coshθ・sinhθ・(Λ ̄01+Λ ̄10)+(sinhθ)^2・Λ ̄11=Λ ̄00

 

01,10成分

 Λ01=(coshθ)^2・Λ ̄01coshθ・sinhθ・(Λ ̄00+Λ ̄11)+(sinhθ)^2・Λ ̄10=Λ ̄01=-Λ ̄10

 

02,20成分

 Λ02coshθ・Λ ̄02sinhθ・Λ ̄12coshθ・Λ ̄02=-Λ ̄20

 

03,30成分

 Λ03coshθ・Λ ̄03sinhθ・Λ ̄13coshθ・Λ ̄03=-Λ ̄30

 

11成分

 Λ11=(coshθ)^2・Λ ̄11coshθ・sinhθ・(Λ ̄01+Λ ̄10)+(sinhθ)^2・Λ ̄00=Λ ̄11

 

12,21成分

 Λ12 coshθ・Λ ̄12sinhθ・Λ ̄02=-sinhθ・Λ ̄02=-Λ ̄21

 

13,31成分

 Λ13 coshθ・Λ ̄13sinhθ・Λ ̄03=-sinhθ・Λ ̄03=-Λ ̄31

 

22成分

 Λ22=Λ ̄22

 

23,32成分

 Λ23=Λ ̄23

 

33成分

 Λ33=Λ ̄33

 

まとめ

 Λ ̄jj=-i  Λ ̄00=i

 Λ ̄0j=-i・βj=-Λ ̄j0

 Λ ̄jk=0 (jk

 

 

(i    -i・β1 -i・γ・β2    -i・γ・β3

i・β1  -i     i・γ・β1・β2  i・γ・β1・β3

i・γ・β2 -i・γ・β1・β2  -i    0

i・γ・β3 -i・γ・β1・β3   0   -i      )

 

∴ Λ ̄μν=i・(η ̄μν-γ・L ̄μν)

 

 L ̄μν=-L ̄νμ=0

 L ̄01=β1/γ

 L ̄02=β2

 L ̄03=β3

 L ̄12=-β1・β2

 L ̄13=-β1・β3

 

 Λ ̄01+Λ ̄10 =0 →  P ̄0≒P ̄1 のとき、L ̄01=-L ̄10=1


・任意方向β=(β1, β2,β3)の場合

 

 β^2=βj・βj=β1・β1+β2・β2+β2・β2

 γ=1/√(1-β^2

 

 Λ ̄μν=i・(η ̄μν -λ ̄μν)

 λ ̄jk=0  j,k=1-3

 

 L ̄μν=-L ̄νμ=0

 L ̄0j=λ ̄0j-(1-1/γ)・(λ ̄0k・βk)・βj/β^2   j=1-3

 L ̄jk=-(βj・λ ̄0k-βk・λ ̄0j   j,k=1-3

 

 λ ̄0j=βjの場合

 L ̄jk=0   j,k=1-3

 Λ0j=-i・(Vj/c) j=1-3



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