次元解析を使った方法です。

数学者からみると、まさに邪道ともいえる代物です。

Ｘの次元［Ｘ］を長さＬとします。

ａＸ2＋ｂＸ＋ｃの次元を体積Ｌ3　とします.

［ａ］［Ｘ］2＋［ｂ］［Ｘ］＋［ｃ］＝Ｌ3

［ａ］Ｌ2＋［ｂ］Ｌ＋［ｃ］＝Ｌ3

よって、

［ａ］＝Ｌ　［ｂ］＝Ｌ2　　　［ｃ］＝Ｌ3

［Ｘ］＝Ｌを求めるには、係数ａ、ｂ、ｃからＬの次元をもつ、

　ｂ／ａ、　ｃ／ｂ、　（√（ｂ2＋Ｋ・ａｃ））／ａ　などが候補です。

　Ｋは無次元の定数です（［Ｋ］＝φ）。

　ａはゼロでないとしているので、ａで割る分にはＯＫ。

　ｃ／ｂは、ｂ＝０のとき使えないのでボツ。ｃで割る場合も同じことです。

　ａ・ｂやｃの三乗根なんてものもありますが、この際ほっときましょ。

定係数Ｋ1、Ｋ2、Ｋ3を使って、

　α＝Ｋ1・ｂ／ａ＋Ｋ2・（√（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ））／ａ

　β＝Ｋ1・ｂ／ａ－Ｋ2・（√（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ））／ａ

とおきます。

　ここで、根と係数の関係式から、

　α＋β＝２・Ｋ1・ｂ／ａ　＝－ｂ／ａ   　　　　∴　Ｋ1＝－１／２

　α・β＝（Ｋ1・ｂ／ａ）2－（Ｋ2／ａ）2（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ）＝ｃ／ａ

　　（Ｋ1・ｂ／ａ）2－（Ｋ2・ｂ／ａ）2　－（Ｋ2）2Ｋ3・ｃ／ａ　で

　　　ｂの項は無用なので、

　　　　Ｋ1＝Ｋ2

　 　－（Ｋ2）2  Ｋ3＝１から

　　　　Ｋ3＝－（Ｋ2）-2＝－４

例

　　３Ｘ2＋Ｘ－２＝０

　　Ｘ＝Ｋ1／３±Ｋ2・（√（１－６・Ｋ3））／３　とおきます。

　　α＋β＝－１／３　から　２Ｋ1＝－１　Ｋ1＝－１／２

　　α・β＝－２／３から

　　　Ｋ1＝Ｋ2 と

　　（Ｋ2）2・６・Ｋ3／９＝－２／３

　　　Ｋ3＝－（（２／３）・９／６）・４＝－４

∴　Ｘ＝－１／６±（√（１－６・（－４））／６

　　　＝－１／６±５／６

　　　＝－１　または　＋２／３

　実は、３が１と３の積で、－２が、１と－２の積なので、

　（３Ｘ－２）（Ｘ＋１）＝０に因数分解できます。

何十年も経って、定係数Ｋ1、Ｋ2、Ｋ3をうろ覚えの方にはいいかも知れませんが、

こんな面倒な計算やってられるか！、という方には、根の公式を再び丸暗記する方法をお勧めいたします。

　　無理やり因数分解を推し進める方法です。

　ａ（Ｘ＋Ｂ）2－Ｃ＝０の形に変形します。

　Ｃ≧０の場合、Ｃ＝（√Ｃ）2

  （√ａ・（Ｘ＋Ｂ）＋√Ｃ）（√ａ・（Ｘ＋Ｂ）－√Ｃ）＝０

　　　　∴　Ｘ＝－Ｂ±√（Ｃ／ａ）

　Ｃ＜０の場合、Ｃ＝（ｉ√｜Ｃ｜）2

  （√ａ・（Ｘ＋Ｂ）＋ｉ√｜Ｃ｜）（√ａ・（Ｘ＋Ｂ）－ｉ√｜Ｃ｜）＝０

　　　　∴　Ｘ＝－Ｂ±ｉ√（｜Ｃ｜／ａ）

例

　Ｘ2＋２Ｘ＋２＝０

（Ｘ＋１）2＋１＝０

（Ｘ＋１）2－ｉ2＝０

（Ｘ＋１＋ｉ）（Ｘ＋１－ｉ）＝０

  Ｘ＝－１±ｉ

　　この方法は正道であり、根の公式を求める場合にも通用します。

　　　但し、公式など無用というワケにはいきません（制限時間がありますので）。

もっとカンタンな方法があるかも知れませんが、

　　カンタンなものほど人は忘れてしまうものです。

グラスマン数θを使う方法で、

θのｎ（≧２）乗はゼロという、ちょっと得たいの知れぬ数です。

Ｙ（Ｘ）＝ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０　（ａ≠０）

Ｙ（Ｘ＋θ）＝ａ（Ｘ＋θ）2＋ｂ（Ｘ＋θ）＋ｃ

　　　　　　＝ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＋（２ａＸ＋ｂ）θ

　　　　　　＝（２ａＸ＋ｂ）θ

Ｙ（Ｘ＋θ）＝Ｙ（Ｘ）＝０とし、θずらしてもＹが変化しないＸ値から極値が求まります。

２ａＸ＋ｂ＝０　より　　Ｘ＝－ｂ／（２ａ）なので、

あとは２次方程式の解（その２）のやり方を踏襲します。

例

　６Ｘ2＋３Ｘ－１＝０　　

　６（Ｘ＋θ）2＋３（Ｘ＋θ）－１

　＝（６・２Ｘ＋３）θ＝０

　　ゆえに　Ｘ＝－１／４　（∵　θ≠０）

　左辺に代入して

　　　６／１６－３／４－１＝－１１／８

　符号を反転し、６で割って平方根を計算すると、

　　√（１１／８／６）＝（１／４）√（１１／３）

　根：　－１／４　±（√３３）／１２

Ｃｆ）

グラスマン数θ1,θ2は、

｛θ1,θ2｝＝θ1θ2＋θ2θ1＝０　　：反交換関係

を満たすので、

　θ1＝θ2＝θとおくと、２・θ2＝０より、θ2＝０となります。

ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０　（ａ≠０）　をａで除算して

Ｘ2＋（ｂ／ａ）Ｘ＋（ｃ／ａ）＝０

Ａ＝ｂ／ａ　Ｂ＝ｃ／ａとおいて

Ｘ2＋ＡＸ＋Ｂ＝０

Ｘ＝ｒexp（ｉθ）を代入

ｒ2exp（ｉ２θ）＋Ａｒexp（ｉθ）＋Ｂ＝０

exp（ｉθ）＝cosθ＋ｉsinθより、

実数部：　ｒ2cos２θ＋Ａｒcosθ＋Ｂ＝０　　（１）式

虚数部：　ｒ2sin２θ＋Ａｒsinθ＝０　　　　（２）式

sin２θ＝２sin θcosθ

cos２θ＝２（cosθ）2－１　を使う

（２）式から　２ｒ2sin θcosθ＝－Ａｒsinθ

　　　　　　ｒcosθ＝－Ａ／２　　（ｒ≠０　sinθ≠０）

　　（１）式から

ｒ2（２（cosθ）2－１）＋Ｂ＝－Ａｒcosθ＝Ａ2／２　

２（ｒcosθ）2－ｒ2　＋Ｂ＝Ａ2／２　

２（－Ａ／２）2－ｒ2　＋Ｂ＝Ａ2／２　

　　　　　　　　ｒ2　＝Ｂ

ｒsinθ＝±√（ｒ2－（ｒcosθ）2）＝±√（Ｂ－Ａ2／４）

よって

　Ｘ＝ｒexp（ｉθ）

　　＝ｒcosθ＋ｉｒsinθ

　　＝－Ａ／２±ｉ√（Ｂ－Ａ2／４）

　　＝－ｂ／２ａ±ｉ√（ｃ／ａ－（ｂ／ａ）2／４）

　　＝－ｂ／２ａ±ｉ（√（４ａｃ－ｂ2））／２|ａ|

三角関数の公式を記憶の片隅から引っ張りだしてみてください。

例

　Ｘ2＋Ｘ＋１＝０

　実数部：　ｒ2cos２θ＋ｒcosθ＋１＝０

　虚数部：　（２ｒcosθ＋１）ｒsinθ＝０

　ｒcosθ＝－１／２

　ｒsinθ＝±√（１－（－１／２）2）＝±（√３）／２

　Ｘ＝ｒcosθ＋ｉｒsinθ＝－１／２±ｉ（√３）／２