記憶バックアップ作戦
・２次方程式の解（その６）
グラスマン数θを使う方法で、
θのｎ（≧２）乗はゼロという、ちょっと得たいの知れぬ数です。
Ｙ（Ｘ）＝ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０ （ａ≠０）
Ｙ（Ｘ＋θ）＝ａ（Ｘ＋θ）2＋ｂ（Ｘ＋θ）＋ｃ
＝ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＋（２ａＸ＋ｂ）θ
＝（２ａＸ＋ｂ）θ
Ｙ（Ｘ＋θ）＝Ｙ（Ｘ）＝０とし、θずらしてもＹが変化しないＸ値から極値が求まります。
２ａＸ＋ｂ＝０ より Ｘ＝－ｂ／（２ａ）なので、
あとは２次方程式の解（その２）のやり方を踏襲します。
例
６Ｘ2＋３Ｘ－１＝０
６（Ｘ＋θ）2＋３（Ｘ＋θ）－１
＝（６・２Ｘ＋３）θ＝０
ゆえに Ｘ＝－１／４ （∵ θ≠０）
左辺に代入して
６／１６－３／４－１＝－１１／８
符号を反転し、６で割って平方根を計算すると、
√（１１／８／６）＝（１／４）√（１１／３）
根： －１／４ ±（√３３）／１２
Ｃｆ）
グラスマン数θ1,θ2は、
｛θ1,θ2｝＝θ1θ2＋θ2θ1＝０ ：反交換関係
を満たすので、
θ1＝θ2＝θとおくと、２・θ2＝０より、θ2＝０となります。
・２次方程式の解（その７）
ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０ （ａ≠０） をａで除算して
Ｘ2＋（ｂ／ａ）Ｘ＋（ｃ／ａ）＝０
Ａ＝ｂ／ａ Ｂ＝ｃ／ａとおいて
Ｘ2＋ＡＸ＋Ｂ＝０
Ｘ＝ｒexp（ｉθ）を代入
ｒ2exp（ｉ２θ）＋Ａｒexp（ｉθ）＋Ｂ＝０
exp（ｉθ）＝cosθ＋ｉsinθより、
実数部： ｒ2cos２θ＋Ａｒcosθ＋Ｂ＝０ （１）式
虚数部： ｒ2sin２θ＋Ａｒsinθ＝０ （２）式
sin２θ＝２sin θcosθ
cos２θ＝２（cosθ）2－１ を使う
（２）式から ２ｒ2sin θcosθ＝－Ａｒsinθ
ｒcosθ＝－Ａ／２ （ｒ≠０ sinθ≠０）
（１）式から
ｒ2（２（cosθ）2－１）＋Ｂ＝－Ａｒcosθ＝Ａ2／２
２（ｒcosθ）2－ｒ2 ＋Ｂ＝Ａ2／２
２（－Ａ／２）2－ｒ2 ＋Ｂ＝Ａ2／２
ｒ2 ＝Ｂ
ｒsinθ＝±√（ｒ2－（ｒcosθ）2）＝±√（Ｂ－Ａ2／４）
よって
Ｘ＝ｒexp（ｉθ）
＝ｒcosθ＋ｉｒsinθ
＝－Ａ／２±ｉ√（Ｂ－Ａ2／４）
＝－ｂ／２ａ±ｉ√（ｃ／ａ－（ｂ／ａ）2／４）
＝－ｂ／２ａ±ｉ（√（４ａｃ－ｂ2））／２|ａ|
三角関数の公式を記憶の片隅から引っ張りだしてみてください。
例
Ｘ2＋Ｘ＋１＝０
実数部： ｒ2cos２θ＋ｒcosθ＋１＝０
虚数部： （２ｒcosθ＋１）ｒsinθ＝０
ｒcosθ＝－１／２
ｒsinθ＝±√（１－（－１／２）2）＝±（√３）／２
Ｘ＝ｒcosθ＋ｉｒsinθ＝－１／２±ｉ（√３）／２
・２次方程式の解（その８）
[x=-(√(17)+3)/2,x=(√(17)-3)/2]
CF) T:数学教師
Ｓ:生徒
Ｔ：「君がもしも電気のない無人島に流されたとしたら、この方法は通用しない。」
Ｓ：「はぁ。」
Ｔ：「私は、紙と鉛筆だけで計算できる方法を教えているわけだ。」
Ｓ：「でも、無人島には紙も鉛筆もないでしょ。」
Ｔ：「砂と君の指があれば十分だよ。」
Ｓ：「そんな生活をしていて、２次方程式を解かねばならない事態に遭遇するとは思えませんが。」
Ｔ：「そうくると思っていたよ。」
Ｓ：「・・・。」
Ｔ：「そのときには、先生のことを思い出して懐かしんでくれると嬉しいんだが。」
・２次方程式の解（その９）
理想形を追求する方法を説明しましょう。
まず、
（ｘ＋ｙ）^2＝ｘ^２+２・ｘ・ｙ＋ｙ^２
を思い出します。
右辺の係数比は、１：２：１できれいな数値です。
ａ・ｘ^2＋ｂ・ｘ＋ｃ＝０
の左辺の係数比はａ：ｂ：ｃですが、
これを１：２：１にしてみせようではないか（なーんちゃって）。
ｘ＝ｙ/ｚとおいて、
ａ・（ｙ/ｚ）^2＋ｂ・（ｙ/ｚ）＋ｃ＝０
ａ・ｙ^2＋ｂ・ｚ・ｙ＋ｃ・ｚ^2＝０
係数比ａ：ｂ・ｚ＝１：２とするには、ｚ＝（２ａ）/ｂとします。
ａ・ｙ^2＋２・ａ・ｙ＋ｃ・ｚ^2＝０
ａ・（ｙ^2＋２・ｙ＋１）＝ａ－ｃ・ｚ^2
ａ・（ｙ＋１）^2 ＝ａ－ｃ・（（２・ａ）/ｂ）^2＝０
（ｙ＋１）^2 ＝１－（４ａ・ｃ）/ｂ^2
左辺を理想形に変形してキレイにすると、
右辺にはお世辞にもキレイとはいえないものが出てきます。
ｙ＋１＝±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜
ｙ＝－１±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜
∴ ｘ＝ｙ/ｚ＝（ｂ/（２ａ））（－１±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜）
例１）
２ｘ^2＋４ｘ＋１＝０
これは、２：４＝１：２が明らかですので、
両辺に１を加えます。
２ｘ^2＋４ｘ＋２＝１
２（ｘ＋１）^2＝１
（ｘ＋１）^2＝１/２
ｘ＋１＝±１/√２
∴ ｘ＝－１±√２/２
例２）
５ｘ^2＋４ｘ＋２＝０
左辺の１次項の係数と定数の比に４：２＝２：１がみえます。
ｘ＝ｙ/ｚとおいて
５（ｙ/ｚ）^2＋４（ｙ/ｚ）＋２＝０
５ｙ^2＋４（ｙ・ｚ）＋２ｚ^2＝０
２ｚ^2＋４（ｙ・ｚ）＋５ｙ^2＝０
ｙ＝１とおけば、２：４ｙ＝１：２になります。
２（ｚ^2＋２ｚ＋１）＝２－５ｙ^2＝－３
２（ｚ＋１）^2＝－３
ｚ＋１＝±(√（３/２))i ：iは虚数単位
ｚ＝－１±(√（３/２))i
∴ｘ＝ｙ/ｚ＝１/ｚ
これで終わりにできないのが、この方法の欠点ですが、致命的ではありません。
ここで思い出してほしいのは、ｚの複素共役ｚ＊
１/ｚ=ｚ＊/（ｚｚ＊）
分母ｚｚ＊
はｚの絶対値の２乗で、実数部（－１）の２乗と虚数部（√（３/２))の２乗の和です。
＝１＋３/２=５/２
よって
ｘ＝（２/５）（－１±(√（３/２))i）
＝（－２±(√６）i)/５
以上、１：２：１を勝手に理想的な比とデッチアゲテ計算しましたが、
諸君の好きな比でやってみてください（といっても、そんな暇人はいねーだろー）。
１２１＝１１^2
１４４＝１２^2
１６９＝１３^2 etc.
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