記憶バックアップ作戦
ピタゴラスの定理
この図と同様のものが、今から二千年以上も前に、ｙ：ｘ：ｚ＝３：４：５の比率で描描かれていたことを知ったときには感心しました。ピタゴラスの定理は、彼が証明したときよりもさらに二千年以上前に発見されていたらしいとのことです。
ユークリッド先生が行った証明は私にはとても記憶できるような代物ではありません。以下の証明は、上図を記憶できるかどうかにかかっています。
大きい方の正方形から、
□（x＋y）＝４・⊿（x，y）＋□（ｚ）
小さい方の正方形から、
□（ｚ）＝４・⊿（x，y）＋□（x-y）
が分かります。
□（Ａ）＝Ａ・Ａ ：正方形の面積
⊿（Ｂ，Ｃ）＝Ｂ・Ｃ／２：直角三角形の面積
∴ ｘ２＋ｙ２＝ｚ２
この定理は、フェルマーの最終定理に比べて人類の歴史に大きく貢献しているように思われます。
Ｃｆ）
ｘ２＋ｙ２＝ｚ２
を満たす３数ｘ、ｙ、ｚを見つけ出すのは一見、難しそうに思えますが、そうでもありません。
ｘ２＝ｚ２ －ｙ２ ＝（ｚ＋ｙ）・（ｚ－ｙ） を使うと、
ｘ＝３の場合、
３２＝９・１ より ｚ＋ｙ＝９、 ｚ－ｙ＝１を解くことと同じなので、
３２＝（（９＋１）/2）２－（（９－１）/2）２
＝５２ －４２
有名な３、４、５の組み合わせが出てきます。連続する自然数でピタゴラスの定理を満たすのは、これだけです。
ｎ２＝（n＋１）２ －（n－１）２ ＝４・ｎ : n≠０
∴ n＝４
これを一般化すると、
（２ｎ＋１）２＝４ｎ２＋４ｎ＋１
＝（２ｎ（ｎ＋１）＋１）２－（２ｎ（ｎ＋１））２
（ｎ＋ｎ＋１）２＋（２ｎ（ｎ＋１））２＝（２ｎ（ｎ＋１）＋１）２
手順
１） ｎとｎ＋１を決めて、加算する。 ２と３で、５
２） ｎとｎ＋１を乗算して２倍する。 ６の２倍で、１２
３） ２）の結果に１を足す。 １２足す１で、１３
ｘが偶数の場合にはｘ＝２・ｐ・ｑとおいて、
ｘ２＝２ｐ^2・２ｑ＾2＝ｚ２ －ｙ２ ＝（ｚ＋ｙ）・（ｚ－ｙ）
ｚ＋ｙ=２ｐ^2
ｚ－ｙ=２ｑ＾2
を解いて、 ｚ＝ｐ＾2＋ｑ＾2 と ｙ＝ｐ＾2－ｑ＾2
２・ｐ・ｑ，ｐ＾2－ｑ＾2 ，ｐ＾2＋ｑ＾2の組み合わせは、かなり昔から知られているものです。
・ｘ２＋ｙ２＝ｚ２ : 直角三角形の３辺の関係
ｘ・ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝２（ｚ＋１） ：面積の２倍が３辺の長さに等しい
これらの条件を満たす自然数ｘ、ｙ、ｚを求めよ。
ｘ＋ｙ－ｚ＝２より ｘ＋ｙ＝ｚ＋２
（ｘ＋ｙ）２ ＝（ｚ＋２）２
ｘ２＋ｙ２＋２ｘ・ｙ＝ ｚ２ ＋４ｚ＋４
ｘ・ｙ＝２（ｚ＋１）
ｘ・ｙ－２（ｘ＋ｙ）＝２（ｚ＋１）－２（ｚ＋２）＝－２
ｘ・ｙ－２（ｘ＋ｙ）＋４＝２
（ｘ－２）（ｙ－２）＝２
よって ２＝１・２＝２・１より
ｘ－２＝１から ｘ＝３
ｙ－２＝２から ｙ＝４
または
ｘ－２＝２から ｘ＝４
ｙ－２＝１から ｙ＝３
ｘ・ｙ＝２（ｚ＋１）＝１２から ｚ＝５
したがって、辺の長さ３、４，５の直角三角形が求まり、面積は６で、辺の和は１２となる。
ヒトが３、４、５、６、１２を見て直ちに気付くのは、偶然（！）にも１から６までの数字が全て現れていることである（ヒトは偶然を持て囃す生き物である）。
ｅの近似値
ｅは、自然対数の底などという堅苦しい名前で呼ばれていますが、
レオンハルト・オイラー（Euler）先生が使ったのでｅになったのではないかと邪推しております。
アイザック・ニュートン氏は、１６６５年に
指数関数 exp(ｘ)＝Σｘ^ｋ／ｋ！ ：！は階乗
を示したそうです。
ｅ＝exp(１)＝Σ １／ｋ！
を地道に計算すればいいのですが、短気な人には、
ｅ＝Σ（（３ｋ＋２）^2＋１）/（３ｋ＋２）！
がお勧めです。（さらに短気な人は？ すでに退場していると思います。）
これは、ニュートンの式を３項ずつまとめたもので、
１/（ｋ－１）！＋１/ｋ！＋１/（ｋ＋１）！
＝（１/ｋ！）（ｋ＋１＋１／（ｋ＋１））
＝（（ｋ＋１）^2＋１）／（ｋ＋１）！
ｋを１つずらしてｋ－１にすれば
（ｋ^2＋１）／ｋ！
となるので、憶えやすいです。
実際の計算を機械にやってもらうと、以下のようになりました。
k | ３ｋ＋２ | ３ｋ＋２ ! | (３ｋ＋２)^2＋１ | 第ｋ項 | 累積値 | 誤差 |
0 | 2 | 2 | 5 | 2.5 | 2.5000000000 | -0.21828 |
1 | 5 | 120 | 26 | 0.216667 | 2.7166666667 | -0.00162 |
2 | 8 | 40320 | 65 | 0.001612 | 2.7182787698 | -3.1E-06 |
3 | 11 | 39916800 | 122 | 3.06E-06 | 2.7182818262 | -2.3E-09 |
4 | 14 | 8.72E+10 | 197 | 2.26E-09 | 2.7182818285 | -8.2E-13 |
5 | 17 | 3.56E+14 | 290 | 8.15E-13 | 2.7182818285 | ほぼ0 |
ｋ＝２までの総和を分数で表すと、
ｅ≒１０９６０１/４０３２０
となって、簡単に記憶できます（ウソです）。
分子は１０９と６０１に分解して、６０１は１０９をひっくり返したものだから憶えやすい。
分母は４、３、２と減っていき、４と３の間と最後に０が入る・・・覚えにくーい。
実は、ｅ＝2.7 １８２８ １８２８ ４５ ９０ ４５・・・
なので、比較的記憶しやすいのでありました（それを最初に言えってか？）。
円周率の近似値
π＝Ｎ/Ｍ ：ＮとＭは互いに素な自然数
とおきます。
記憶障害を負った、どこかの博士が愛した数式
exp（ｉπ）＋１＝０ ：ｉは虚数単位
を使うと、
exp（ｉＮ/Ｍ）＝ －１
exp（ｉＮ）＝（－１）Ｍ
ｅとｉとπと－１との間に何やら不思議な関係があるように見えますが、
ｅの指数の肩に乗せる数が実数である場合に周期性はなく、
ｅの指数の肩に純虚数を載せると周期性が生じて三角関数が現れます。
１のＬ乗根をexp(ｉＸ）と記すと、exp(ｉＬ・Ｘ）＝１からＬ・Ｘ＝２ｎ・π
∴Ｘ＝２π（ｎ/Ｌ）
これは複素平面での単位円上に頂点をもつ正Ｌ角形を表しており、２π／Ｌをｎ倍する度に頂点が回転します。回転角度に関連するときにπが見えてきます。
余談ですが、オイラーの等式を、「おいらのとうしき」と発音した教授の言葉を真に受けて、その教授が発見した式だと思い込んでいた学生がいたらしい。
なお、オイラーの等式について、オイラー先生は何もコメントしていないので第１発見者ではなさそうです。円周率にギリシヤ文字πを使い始めたのはオイラー先生だと聞いています。
左辺はcos（Ｎ）＋ｉsin（Ｎ）
ゆえに
cos（Ｎ）＝（－１）Ｍ
sin（Ｎ）＝０
これを満たすＮを探せばいいのですが、絶望的です（＊１）。
とはいえ、sin（Ｎ）≒０を満たすＮは何とか見つけられるはず。
あなたが計算の達人でなくとも、今の時代にはパソコンと表計算ソフトがありますから。
１から１０００までの範囲でsin値を計算して、その絶対値を並べ替えると、
Ranking 1-1000 | Ｎ | abs(sin(N)) |
1 | 355 | 3.01444E-05 |
2 | 710 | 6.02887E-05 |
3 | 688 | 9.E-03 |
Ｎ＝３５５を発見！
sinπ＝０なので、 sin（３５５/Ｍ）≒０
より、同様の方法（＊２）で、３＜Ｎ/Ｍ＜４の範囲でＭを探索すると、
Ranking 88-118 | M | abs(sin(355/M)) |
1 | 113 | 2.66764E-07 |
2 | 114 | 0.027554078 |
3 | 112 | 0.028046525 |
M＝１１３を発見！
結局
π≒３５５/１１３
これは3.141592920・・・で小数６桁まで合っています。
さて、記憶の仕方は、逆数の記号「＼」を用いて、 ：Ａ＼Ｂ＝Ｂ/Ａ
１１３＼３５５
ですので、簡単カンタン。
しかし、人は簡単なものほど忘れる生き物ですから、そのときはアルベルトさん（＊３）に頼りましょう。彼の誕生日は３月１４日。悪しからず。
（＊１）πは有理数でない（無理数）ので、自然数を用いた分数で表すことはできません。
π＝3.14159265358979・・・と延々に続くので、愚鈍な小生は、記憶するのが無理な数を、無理数だと思っておりました。
（＊２）この方法で次に見つかるのは、
103993/33102＝3.141592653・・・ で小数９桁まで合っています。
312689/99532 (小数１０桁)
833719/265381, 1146408/364913 (小数１１桁)
5419351/1725033(小数１３桁)
85563268/27235615 (小数１５桁)
411557987/131002976 (小数１６桁)
（＊３）アルベルト・アインシュタイン
微分
が微分可能な関数であるとき、導関数'（ｘ）は 
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