π＝Ｎ/Ｍ　：ＮとＭは互いに素な自然数

とおきます。

記憶障害を負った、どこかの博士が愛した数式

exp（ｉπ）＋１＝０　：ｉは虚数単位

を使うと、

exp（ｉＮ/Ｍ）＝ －１

exp（ｉＮ）＝（－１）Ｍ

ｅとｉとπと－１との間に何やら不思議な関係があるように見えますが、

ｅの指数の肩に乗せる数が実数である場合に周期性はなく、

ｅの指数の肩に純虚数を載せると周期性が生じて三角関数が現れます。

１のＬ乗根をexp(ｉＸ）と記すと、exp(ｉＬ・Ｘ）＝１からＬ・Ｘ＝２ｎ・π

∴Ｘ＝２π（ｎ/Ｌ）　

これは複素平面での単位円上に頂点をもつ正Ｌ角形を表しており、２π／Ｌをｎ倍する度に頂点が回転します。回転角度に関連するときにπが見えてきます。

余談ですが、オイラーの等式を、「おいらのとうしき」と発音した教授の言葉を真に受けて、その教授が発見した式だと思い込んでいた学生がいたらしい。

なお、オイラーの等式について、オイラー先生は何もコメントしていないので第１発見者ではなさそうです。円周率にギリシヤ文字πを使い始めたのはオイラー先生だと聞いています。

左辺はcos（Ｎ）＋ｉsin（Ｎ）

ゆえに

　cos（Ｎ）＝（－１）Ｍ

　sin（Ｎ）＝０

　これを満たすＮを探せばいいのですが、絶望的です（＊１）。

　とはいえ、sin（Ｎ）≒０を満たすＮは何とか見つけられるはず。

　あなたが計算の達人でなくとも、今の時代にはパソコンと表計算ソフトがありますから。

　１から１０００までの範囲でsin値を計算して、その絶対値を並べ替えると、

Ｎ＝３５５を発見！

sinπ＝０なので、　sin（３５５/Ｍ）≒０

より、同様の方法（＊２）で、３＜Ｎ/Ｍ＜４の範囲でＭを探索すると、

M＝１１３を発見！

結局

　π≒３５５/１１３

これは3.141592920・・・で小数６桁まで合っています。

さて、記憶の仕方は、逆数の記号「＼」を用いて、　：Ａ＼Ｂ＝Ｂ/Ａ

　１１３＼３５５

ですので、簡単カンタン。

　しかし、人は簡単なものほど忘れる生き物ですから、そのときはアルベルトさん（＊３）に頼りましょう。彼の誕生日は３月１４日。悪しからず。

（＊１）πは有理数でない（無理数）ので、自然数を用いた分数で表すことはできません。

　　　　π＝3.14159265358979・・・と延々に続くので、愚鈍な小生は、記憶するのが無理な数を、無理数だと思っておりました。

（＊２）この方法で次に見つかるのは、

103993/33102＝3.141592653・・・ で小数９桁まで合っています。

312689/99532  (小数１０桁)

833719/265381, 1146408/364913 (小数１１桁)

5419351/1725033(小数１３桁)

85563268/27235615  (小数１５桁)

411557987/131002976 (小数１６桁)

（＊３）アルベルト・アインシュタイン

Exp(θ）＝（１＋θ/ｎ）^ｎ　　：^は累乗記号

        ＝ １＋θ

として

　Exp(ｘ＋θ）＝Exp(ｘ)・Exp(θ)＝Exp(ｘ)・（１＋θ）　より

　Exp(ｘ＋θ）－Exp(ｘ)＝Exp(ｘ)・θ

　よって、Exp(ｘ)の導関数は、Exp(ｘ)

Exp(ｉθ）＝１＋ｉθ　　：　ｉは虚数単位

を使って三角関数の微分を計算するときには、

ＣＯＳ（ｘ）＝（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２

ＳＩＮ（ｘ）＝（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／（２ｉ）

を思い出します。

ＣＯＳ（ｘ＋θ）

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）＋Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／２

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）＋Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／２

＝（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２＋（（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／２））ｉθ

＝ＣＯＳ（ｘ）－（（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／２ｉ））θ

＝ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ

よって、ＣＯＳ（ｘ＋θ）－ＣＯＳ（ｘ）＝－（ＳＩＮ（ｘ））θ

ＣＯＳ（ｘ）の導関数は、－ＳＩＮ（ｘ）

ＳＩＮ（ｘ＋θ）

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）－Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／（２ｉ）

＝（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／（２ｉ）＋（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））・（ｉθ）／（２ｉ）

＝ＳＩＮ（ｘ）＋（（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２）・θ

＝ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ

よって、　ＳＩＮ（ｘ＋θ）－ＳＩＮ（ｘ）＝（ＣＯＳ（ｘ））θ

ＳＩＮ（ｘ）の導関数は、＋ＣＯＳ（ｘ）

ＴＡＮ（ｘ＋θ）

＝ＳＩＮ（ｘ＋θ）／ＣＯＳ（ｘ＋θ）

＝（ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ）／（ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ

）

＝（ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ）・（ＣＯＳ（ｘ）＋（ＳＩＮ（ｘ））θ）

／（ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ）／（ＣＯＳ（ｘ）＋（ＳＩＮ（ｘ））θ）

＝（ＳＩＮ（ｘ）・ＣＯＳ（ｘ）＋θ）／ＣＯＳ２（ｘ）

＝ＴＡＮ（ｘ）＋（１／ＣＯＳ２（ｘ））θ

よって、ＴＡＮ（ｘ＋θ）－ＴＡＮ（ｘ）＝（１／ＣＯＳ２（ｘ））θ

ＴＡＮ（ｘ）の導関数は、１／ＣＯＳ２（ｘ）

あるいは

加法定理を憶えていれば（注：あなたが忘れていることを非難する訳ではありません）、

Exp(ｉθ）＝１＋ｉθ　

ＣＯＳ（θ）＝（Exp(ｉθ）＋Exp(－ｉθ））／２　　　＝１

ＳＩＮ（θ）＝（Exp(ｉθ）－Exp(－ｉθ））／（２ｉ）＝θ　

を使って、

ＳＩＮ（ｘ＋θ）＝ＳＩＮ（ｘ）・ＣＯＳ（θ）＋ＣＯＳ（ｘ）・ＳＩＮ（θ）

　　　　　　　　＝ＳＩＮ（ｘ）＋（ＣＯＳ（ｘ））θ

∴ＳＩＮ（ｘ＋θ）－ＳＩＮ（ｘ）＝（ＣＯＳ（ｘ））θ

という具合に計算した方が簡単かも知れません。

ＣＯＳ（ｘ＋θ）の方の加法定理は、当方の場合、”記憶にございません”ので、

上式をｘで微分して（こういうケースで重宝します）、

　ＣＯＳ（ｘ＋θ）＝ＣＯＳ（ｘ）・ＣＯＳ（θ）－ＳＩＮ（ｘ）・ＳＩＮ（θ）

　　　　　　　　　＝ＣＯＳ（ｘ）＋（－ＳＩＮ（ｘ））θ　　

でやってみるのも一興かと存じます（微分してるんだから、当然だとおっしゃるでしょうが・・・）。

cf)　任意の関数ｆ（ｘ）については、

　　　ｆ（θ）＝ｆ（０）＋ｆ(1)（０）θ＝ａ＋ｂθ　　：ａ，ｂは定数

 　つまりθの一次式で表されます。

　　　Exp(θ）＝Exp(０）＋　Exp(０）θ＝１＋θ＝ＣＯＳ（θ）＋ＳＩＮ（θ）

　　　ＣＯＳ（θ）＝ＣＯＳ（０）－ＳＩＮ（０）θ＝１

　　　ＳＩＮ（θ）＝ＳＩＮ（０）＋ＣＯＳ（０）θ＝θ

　　　ＴＡＮ（θ）＝ＴＡＮ（０）＋（１／ＣＯＳ２（０））θ＝θ

負数の平方根は、アレキサンドリアのヘロン先生が「測量術」で計算した√（８１－１４４）が最初らしい。　マイナス１の平方根である√（－１）に記号”ｉ”を使ったのはオイラー先生だそうです。

小生は、その昔、人心を惑わす目的で、

ｉ＝√（－１）

　 ＝（－１）^(1/2)＝（－１）^(2/4)＝（（－１）^2）＾(1/4) ＝１＾(1/4)＝１　　　（＊１）

とやったことを記憶しています。本当にそうなら、話はもっと簡単に決着したことでしょう。

複素数ａ＋ｂｉが平面上の点で表されることが判ったのは、ガウス先生の時代（１８００年頃）だそうです。ここから複素解析が本格的に始まり、それ以後に現代の学生を悩ませることになります。

複素平面（ガウス平面）上の点ｘ＋ｉｙは、極表示で

　ｘ＋ｉｙ＝ｒexp（ｉθ）　　：ｒ＝√（ｘ2＋ｙ2）　tanθ＝ｙ／ｘ

と表すことができます。

２次元で表現できるのなら、３次元でも可能では？

どういうわけか中学生の分際で、複素数を３次元へ拡張できたら「カッコイイ」と思いついたのでした。しか～し、小生の儚い夢は敢え無く立ち消えました。既にハミルトン先生の四元数によって解決されていたからなのです（まったくヨ～！）。

ハミルトン（と呼び捨てにして）の四元数を、

Ｉμ　　：μ＝０～３

　　と表記すると　

(Ｉ0)2＝Ｉ0

(Ｉｊ)2＝－Ｉ0　　：j＝１～３

Ｉｊは３つの虚数ようにも見えます。

Ｉ１Ｉ２Ｉ３＝－Ｉ0

という性質があり、

Ｉ0＝１

とおいて両辺に右からＩ３をかけると、

　Ｉ１Ｉ２＝Ｉ３

さらに左からＩ２をかけて右からもＩ２をかけると

　Ｉ２Ｉ１＝－Ｉ２Ｉ３Ｉ２＝－Ｉ１Ｉ２　　　　　　：Ｉ２Ｉ３＝Ｉ１

　よって反交換子｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ　を使えば　

　｛Ｉ２，Ｉ１｝＝｛Ｉ１，Ｉ２｝＝０

　同様にして

　｛Ｉ２，Ｉ３｝＝｛Ｉ3，Ｉ１｝＝０

・虚数ｉと四元数Ｉｊ　との関係

ｎｊを実数の変数として

ｉ＝ｎｊＩｊ　　　　　：アインシュタインの縮約規則（＊２）

左辺の２乗は、－１

右辺の２乗は

　　＝（ｎ1Ｉ1）^2＋（ｎ2Ｉ2）^2＋（ｎ3Ｉ3）^2　　

　　　　　＋｛Ｉｊ，Ｉｋ｝ｎｊｎｋ　　　　：ｊ≠ｋ　

　　＝－（（ｎ1）^2＋（ｎ2）^2＋（ｎ3）^2）

∴　（ｎ1）^2＋（ｎ2）^2＋（ｎ3）^2　＝１

　　　ｎ＝（ｎ1，ｎ2，ｎ3）　は単位方向ベクトル

　　　ｉはＩｊ　対して、任意の方向を向くってことです。

（＊１）

　正しくは、（（－１）^(1/4)）＾2＝（exp(ｉ・π/４)）^2＝（１／√２＋ｉ／√２）^2＝ｉ

（＊２）

　上付き添え字と下付き添え字で同じ記号を見つけたら総和をとること。Σ記号を省略できるという、アインシュタインによる画期的な（？）規則。