ｅは、自然対数の底などという堅苦しい名前で呼ばれていますが、

　レオンハルト・オイラー（Euler）先生が使ったのでｅになったのではないかと邪推しております。

　アイザック・ニュートン氏は、１６６５年に

指数関数　exp(ｘ)＝Σｘ^ｋ／ｋ！　　　：！は階乗

　を示したそうです。

　ｅ＝exp(１)＝Σ １／ｋ！

  を地道に計算すればいいのですが、短気な人には、

　　ｅ＝Σ（（３ｋ＋２）^2＋１）/（３ｋ＋２）！

　　がお勧めです。（さらに短気な人は？　すでに退場していると思います。）

これは、ニュートンの式を３項ずつまとめたもので、

　　１/（ｋ－１）！＋１/ｋ！＋１/（ｋ＋１）！

＝（１/ｋ！）（ｋ＋１＋１／（ｋ＋１））

＝（（ｋ＋１）^2＋１）／（ｋ＋１）！

ｋを１つずらしてｋ－１にすれば

　（ｋ^2＋１）／ｋ！

となるので、憶えやすいです。

実際の計算を機械にやってもらうと、以下のようになりました。

　ｋ＝２までの総和を分数で表すと、

　ｅ≒１０９６０１/４０３２０

　となって、簡単に記憶できます（ウソです）。

　　分子は１０９と６０１に分解して、６０１は１０９をひっくり返したものだから憶えやすい。

分母は４、３、２と減っていき、４と３の間と最後に０が入る・・・覚えにくーい。

実は、ｅ＝2.7　１８２８　１８２８　４５　９０　４５・・・

なので、比較的記憶しやすいのでありました（それを最初に言えってか？）。

π＝Ｎ/Ｍ　：ＮとＭは互いに素な自然数

とおきます。

記憶障害を負った、どこかの博士が愛した数式

exp（ｉπ）＋１＝０　：ｉは虚数単位

を使うと、

exp（ｉＮ/Ｍ）＝ －１

exp（ｉＮ）＝（－１）Ｍ

ｅとｉとπと－１との間に何やら不思議な関係があるように見えますが、

ｅの指数の肩に乗せる数が実数である場合に周期性はなく、

ｅの指数の肩に純虚数を載せると周期性が生じて三角関数が現れます。

１のＬ乗根をexp(ｉＸ）と記すと、exp(ｉＬ・Ｘ）＝１からＬ・Ｘ＝２ｎ・π

∴Ｘ＝２π（ｎ/Ｌ）　

これは複素平面での単位円上に頂点をもつ正Ｌ角形を表しており、２π／Ｌをｎ倍する度に頂点が回転します。回転角度に関連するときにπが見えてきます。

余談ですが、オイラーの等式を、「おいらのとうしき」と発音した教授の言葉を真に受けて、その教授が発見した式だと思い込んでいた学生がいたらしい。

なお、オイラーの等式について、オイラー先生は何もコメントしていないので第１発見者ではなさそうです。円周率にギリシヤ文字πを使い始めたのはオイラー先生だと聞いています。

左辺はcos（Ｎ）＋ｉsin（Ｎ）

ゆえに

　cos（Ｎ）＝（－１）Ｍ

　sin（Ｎ）＝０

　これを満たすＮを探せばいいのですが、絶望的です（＊１）。

　とはいえ、sin（Ｎ）≒０を満たすＮは何とか見つけられるはず。

　あなたが計算の達人でなくとも、今の時代にはパソコンと表計算ソフトがありますから。

　１から１０００までの範囲でsin値を計算して、その絶対値を並べ替えると、

Ｎ＝３５５を発見！

sinπ＝０なので、　sin（３５５/Ｍ）≒０

より、同様の方法（＊２）で、３＜Ｎ/Ｍ＜４の範囲でＭを探索すると、

M＝１１３を発見！

結局

　π≒３５５/１１３

これは3.141592920・・・で小数６桁まで合っています。

さて、記憶の仕方は、逆数の記号「＼」を用いて、　：Ａ＼Ｂ＝Ｂ/Ａ

　１１３＼３５５

ですので、簡単カンタン。

　しかし、人は簡単なものほど忘れる生き物ですから、そのときはアルベルトさん（＊３）に頼りましょう。彼の誕生日は３月１４日。悪しからず。

（＊１）πは有理数でない（無理数）ので、自然数を用いた分数で表すことはできません。

　　　　π＝3.14159265358979・・・と延々に続くので、愚鈍な小生は、記憶するのが無理な数を、無理数だと思っておりました。

（＊２）この方法で次に見つかるのは、

103993/33102＝3.141592653・・・ で小数９桁まで合っています。

312689/99532  (小数１０桁)

833719/265381, 1146408/364913 (小数１１桁)

5419351/1725033(小数１３桁)

85563268/27235615  (小数１５桁)

411557987/131002976 (小数１６桁)

（＊３）アルベルト・アインシュタイン

Exp(θ）＝（１＋θ/ｎ）^ｎ　　：^は累乗記号

        ＝ １＋θ

として

　Exp(ｘ＋θ）＝Exp(ｘ)・Exp(θ)＝Exp(ｘ)・（１＋θ）　より

　Exp(ｘ＋θ）－Exp(ｘ)＝Exp(ｘ)・θ

　よって、Exp(ｘ)の導関数は、Exp(ｘ)

Exp(ｉθ）＝１＋ｉθ　　：　ｉは虚数単位

を使って三角関数の微分を計算するときには、

ＣＯＳ（ｘ）＝（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２

ＳＩＮ（ｘ）＝（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／（２ｉ）

を思い出します。

ＣＯＳ（ｘ＋θ）

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）＋Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／２

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）＋Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／２

＝（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２＋（（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／２））ｉθ

＝ＣＯＳ（ｘ）－（（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／２ｉ））θ

＝ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ

よって、ＣＯＳ（ｘ＋θ）－ＣＯＳ（ｘ）＝－（ＳＩＮ（ｘ））θ

ＣＯＳ（ｘ）の導関数は、－ＳＩＮ（ｘ）

ＳＩＮ（ｘ＋θ）

＝（Exp(ｉｘ）・（１＋ｉθ）－Exp(－ｉｘ）・（１－ｉθ））／（２ｉ）

＝（Exp(ｉｘ）－Exp(－ｉｘ））／（２ｉ）＋（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））・（ｉθ）／（２ｉ）

＝ＳＩＮ（ｘ）＋（（Exp(ｉｘ）＋Exp(－ｉｘ））／２）・θ

＝ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ

よって、　ＳＩＮ（ｘ＋θ）－ＳＩＮ（ｘ）＝（ＣＯＳ（ｘ））θ

ＳＩＮ（ｘ）の導関数は、＋ＣＯＳ（ｘ）

ＴＡＮ（ｘ＋θ）

＝ＳＩＮ（ｘ＋θ）／ＣＯＳ（ｘ＋θ）

＝（ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ）／（ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ

）

＝（ＳＩＮ（ｘ）＋　（ＣＯＳ（ｘ））θ）・（ＣＯＳ（ｘ）＋（ＳＩＮ（ｘ））θ）

／（ＣＯＳ（ｘ）－（ＳＩＮ（ｘ））θ）／（ＣＯＳ（ｘ）＋（ＳＩＮ（ｘ））θ）

＝（ＳＩＮ（ｘ）・ＣＯＳ（ｘ）＋θ）／ＣＯＳ２（ｘ）

＝ＴＡＮ（ｘ）＋（１／ＣＯＳ２（ｘ））θ

よって、ＴＡＮ（ｘ＋θ）－ＴＡＮ（ｘ）＝（１／ＣＯＳ２（ｘ））θ

ＴＡＮ（ｘ）の導関数は、１／ＣＯＳ２（ｘ）

あるいは

加法定理を憶えていれば（注：あなたが忘れていることを非難する訳ではありません）、

Exp(ｉθ）＝１＋ｉθ　

ＣＯＳ（θ）＝（Exp(ｉθ）＋Exp(－ｉθ））／２　　　＝１

ＳＩＮ（θ）＝（Exp(ｉθ）－Exp(－ｉθ））／（２ｉ）＝θ　

を使って、

ＳＩＮ（ｘ＋θ）＝ＳＩＮ（ｘ）・ＣＯＳ（θ）＋ＣＯＳ（ｘ）・ＳＩＮ（θ）

　　　　　　　　＝ＳＩＮ（ｘ）＋（ＣＯＳ（ｘ））θ

∴ＳＩＮ（ｘ＋θ）－ＳＩＮ（ｘ）＝（ＣＯＳ（ｘ））θ

という具合に計算した方が簡単かも知れません。

ＣＯＳ（ｘ＋θ）の方の加法定理は、当方の場合、”記憶にございません”ので、

上式をｘで微分して（こういうケースで重宝します）、

　ＣＯＳ（ｘ＋θ）＝ＣＯＳ（ｘ）・ＣＯＳ（θ）－ＳＩＮ（ｘ）・ＳＩＮ（θ）

　　　　　　　　　＝ＣＯＳ（ｘ）＋（－ＳＩＮ（ｘ））θ　　

でやってみるのも一興かと存じます（微分してるんだから、当然だとおっしゃるでしょうが・・・）。

cf)　任意の関数ｆ（ｘ）については、

　　　ｆ（θ）＝ｆ（０）＋ｆ(1)（０）θ＝ａ＋ｂθ　　：ａ，ｂは定数

 　つまりθの一次式で表されます。

　　　Exp(θ）＝Exp(０）＋　Exp(０）θ＝１＋θ＝ＣＯＳ（θ）＋ＳＩＮ（θ）

　　　ＣＯＳ（θ）＝ＣＯＳ（０）－ＳＩＮ（０）θ＝１

　　　ＳＩＮ（θ）＝ＳＩＮ（０）＋ＣＯＳ（０）θ＝θ

　　　ＴＡＮ（θ）＝ＴＡＮ（０）＋（１／ＣＯＳ２（０））θ＝θ