記憶バックアップ作戦
・２次方程式の解（その８）
[x=-(√(17)+3)/2,x=(√(17)-3)/2]
CF) T:数学教師
Ｓ:生徒
Ｔ：「君がもしも電気のない無人島に流されたとしたら、この方法は通用しない。」
Ｓ：「はぁ。」
Ｔ：「私は、紙と鉛筆だけで計算できる方法を教えているわけだ。」
Ｓ：「でも、無人島には紙も鉛筆もないでしょ。」
Ｔ：「砂と君の指があれば十分だよ。」
Ｓ：「そんな生活をしていて、２次方程式を解かねばならない事態に遭遇するとは思えませんが。」
Ｔ：「そうくると思っていたよ。」
Ｓ：「・・・。」
Ｔ：「そのときには、先生のことを思い出して懐かしんでくれると嬉しいんだが。」
・２次方程式の解（その９）
理想形を追求する方法を説明しましょう。
まず、
（ｘ＋ｙ）^2＝ｘ^２+２・ｘ・ｙ＋ｙ^２
を思い出します。
右辺の係数比は、１：２：１できれいな数値です。
ａ・ｘ^2＋ｂ・ｘ＋ｃ＝０
の左辺の係数比はａ：ｂ：ｃですが、
これを１：２：１にしてみせようではないか（なーんちゃって）。
ｘ＝ｙ/ｚとおいて、
ａ・（ｙ/ｚ）^2＋ｂ・（ｙ/ｚ）＋ｃ＝０
ａ・ｙ^2＋ｂ・ｚ・ｙ＋ｃ・ｚ^2＝０
係数比ａ：ｂ・ｚ＝１：２とするには、ｚ＝（２ａ）/ｂとします。
ａ・ｙ^2＋２・ａ・ｙ＋ｃ・ｚ^2＝０
ａ・（ｙ^2＋２・ｙ＋１）＝ａ－ｃ・ｚ^2
ａ・（ｙ＋１）^2 ＝ａ－ｃ・（（２・ａ）/ｂ）^2＝０
（ｙ＋１）^2 ＝１－（４ａ・ｃ）/ｂ^2
左辺を理想形に変形してキレイにすると、
右辺にはお世辞にもキレイとはいえないものが出てきます。
ｙ＋１＝±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜
ｙ＝－１±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜
∴ ｘ＝ｙ/ｚ＝（ｂ/（２ａ））（－１±（√（ｂ＾2－４ａ・ｃ））/｜ｂ｜）
例１）
２ｘ^2＋４ｘ＋１＝０
これは、２：４＝１：２が明らかですので、
両辺に１を加えます。
２ｘ^2＋４ｘ＋２＝１
２（ｘ＋１）^2＝１
（ｘ＋１）^2＝１/２
ｘ＋１＝±１/√２
∴ ｘ＝－１±√２/２
例２）
５ｘ^2＋４ｘ＋２＝０
左辺の１次項の係数と定数の比に４：２＝２：１がみえます。
ｘ＝ｙ/ｚとおいて
５（ｙ/ｚ）^2＋４（ｙ/ｚ）＋２＝０
５ｙ^2＋４（ｙ・ｚ）＋２ｚ^2＝０
２ｚ^2＋４（ｙ・ｚ）＋５ｙ^2＝０
ｙ＝１とおけば、２：４ｙ＝１：２になります。
２（ｚ^2＋２ｚ＋１）＝２－５ｙ^2＝－３
２（ｚ＋１）^2＝－３
ｚ＋１＝±(√（３/２))i ：iは虚数単位
ｚ＝－１±(√（３/２))i
∴ｘ＝ｙ/ｚ＝１/ｚ
これで終わりにできないのが、この方法の欠点ですが、致命的ではありません。
ここで思い出してほしいのは、ｚの複素共役ｚ＊
１/ｚ=ｚ＊/（ｚｚ＊）
分母ｚｚ＊
はｚの絶対値の２乗で、実数部（－１）の２乗と虚数部（√（３/２))の２乗の和です。
＝１＋３/２=５/２
よって
ｘ＝（２/５）（－１±(√（３/２))i）
＝（－２±(√６）i)/５
以上、１：２：１を勝手に理想的な比とデッチアゲテ計算しましたが、
諸君の好きな比でやってみてください（といっても、そんな暇人はいねーだろー）。
１２１＝１１^2
１４４＝１２^2
１６９＝１３^2 etc.
ピタゴラスの定理
この図と同様のものが、今から二千年以上も前に、ｙ：ｘ：ｚ＝３：４：５の比率で描描かれていたことを知ったときには感心しました。ピタゴラスの定理は、彼が証明したときよりもさらに二千年以上前に発見されていたらしいとのことです。
ユークリッド先生が行った証明は私にはとても記憶できるような代物ではありません。以下の証明は、上図を記憶できるかどうかにかかっています。
大きい方の正方形から、
□（x＋y）＝４・⊿（x，y）＋□（ｚ）
小さい方の正方形から、
□（ｚ）＝４・⊿（x，y）＋□（x-y）
が分かります。
□（Ａ）＝Ａ・Ａ ：正方形の面積
⊿（Ｂ，Ｃ）＝Ｂ・Ｃ／２：直角三角形の面積
∴ ｘ２＋ｙ２＝ｚ２
この定理は、フェルマーの最終定理に比べて人類の歴史に大きく貢献しているように思われます。
Ｃｆ）
ｘ２＋ｙ２＝ｚ２
を満たす３数ｘ、ｙ、ｚを見つけ出すのは一見、難しそうに思えますが、そうでもありません。
ｘ２＝ｚ２ －ｙ２ ＝（ｚ＋ｙ）・（ｚ－ｙ） を使うと、
ｘ＝３の場合、
３２＝９・１ より ｚ＋ｙ＝９、 ｚ－ｙ＝１を解くことと同じなので、
３２＝（（９＋１）/2）２－（（９－１）/2）２
＝５２ －４２
有名な３、４、５の組み合わせが出てきます。連続する自然数でピタゴラスの定理を満たすのは、これだけです。
ｎ２＝（n＋１）２ －（n－１）２ ＝４・ｎ : n≠０
∴ n＝４
これを一般化すると、
（２ｎ＋１）２＝４ｎ２＋４ｎ＋１
＝（２ｎ（ｎ＋１）＋１）２－（２ｎ（ｎ＋１））２
（ｎ＋ｎ＋１）２＋（２ｎ（ｎ＋１））２＝（２ｎ（ｎ＋１）＋１）２
手順
１） ｎとｎ＋１を決めて、加算する。 ２と３で、５
２） ｎとｎ＋１を乗算して２倍する。 ６の２倍で、１２
３） ２）の結果に１を足す。 １２足す１で、１３
ｘが偶数の場合にはｘ＝２・ｐ・ｑとおいて、
ｘ２＝２ｐ^2・２ｑ＾2＝ｚ２ －ｙ２ ＝（ｚ＋ｙ）・（ｚ－ｙ）
ｚ＋ｙ=２ｐ^2
ｚ－ｙ=２ｑ＾2
を解いて、 ｚ＝ｐ＾2＋ｑ＾2 と ｙ＝ｐ＾2－ｑ＾2
２・ｐ・ｑ，ｐ＾2－ｑ＾2 ，ｐ＾2＋ｑ＾2の組み合わせは、かなり昔から知られているものです。
・ｘ２＋ｙ２＝ｚ２ : 直角三角形の３辺の関係
ｘ・ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝２（ｚ＋１） ：面積の２倍が３辺の長さに等しい
これらの条件を満たす自然数ｘ、ｙ、ｚを求めよ。
ｘ＋ｙ－ｚ＝２より ｘ＋ｙ＝ｚ＋２
（ｘ＋ｙ）２ ＝（ｚ＋２）２
ｘ２＋ｙ２＋２ｘ・ｙ＝ ｚ２ ＋４ｚ＋４
ｘ・ｙ＝２（ｚ＋１）
ｘ・ｙ－２（ｘ＋ｙ）＝２（ｚ＋１）－２（ｚ＋２）＝－２
ｘ・ｙ－２（ｘ＋ｙ）＋４＝２
（ｘ－２）（ｙ－２）＝２
よって ２＝１・２＝２・１より
ｘ－２＝１から ｘ＝３
ｙ－２＝２から ｙ＝４
または
ｘ－２＝２から ｘ＝４
ｙ－２＝１から ｙ＝３
ｘ・ｙ＝２（ｚ＋１）＝１２から ｚ＝５
したがって、辺の長さ３、４，５の直角三角形が求まり、面積は６で、辺の和は１２となる。
ヒトが３、４、５、６、１２を見て直ちに気付くのは、偶然（！）にも１から６までの数字が全て現れていることである（ヒトは偶然を持て囃す生き物である）。
ｅの近似値
ｅは、自然対数の底などという堅苦しい名前で呼ばれていますが、
レオンハルト・オイラー（Euler）先生が使ったのでｅになったのではないかと邪推しております。
アイザック・ニュートン氏は、１６６５年に
指数関数 exp(ｘ)＝Σｘ^ｋ／ｋ！ ：！は階乗
を示したそうです。
ｅ＝exp(１)＝Σ １／ｋ！
を地道に計算すればいいのですが、短気な人には、
ｅ＝Σ（（３ｋ＋２）^2＋１）/（３ｋ＋２）！
がお勧めです。（さらに短気な人は？ すでに退場していると思います。）
これは、ニュートンの式を３項ずつまとめたもので、
１/（ｋ－１）！＋１/ｋ！＋１/（ｋ＋１）！
＝（１/ｋ！）（ｋ＋１＋１／（ｋ＋１））
＝（（ｋ＋１）^2＋１）／（ｋ＋１）！
ｋを１つずらしてｋ－１にすれば
（ｋ^2＋１）／ｋ！
となるので、憶えやすいです。
実際の計算を機械にやってもらうと、以下のようになりました。
k | ３ｋ＋２ | ３ｋ＋２ ! | (３ｋ＋２)^2＋１ | 第ｋ項 | 累積値 | 誤差 |
0 | 2 | 2 | 5 | 2.5 | 2.5000000000 | -0.21828 |
1 | 5 | 120 | 26 | 0.216667 | 2.7166666667 | -0.00162 |
2 | 8 | 40320 | 65 | 0.001612 | 2.7182787698 | -3.1E-06 |
3 | 11 | 39916800 | 122 | 3.06E-06 | 2.7182818262 | -2.3E-09 |
4 | 14 | 8.72E+10 | 197 | 2.26E-09 | 2.7182818285 | -8.2E-13 |
5 | 17 | 3.56E+14 | 290 | 8.15E-13 | 2.7182818285 | ほぼ0 |
ｋ＝２までの総和を分数で表すと、
ｅ≒１０９６０１/４０３２０
となって、簡単に記憶できます（ウソです）。
分子は１０９と６０１に分解して、６０１は１０９をひっくり返したものだから憶えやすい。
分母は４、３、２と減っていき、４と３の間と最後に０が入る・・・覚えにくーい。
実は、ｅ＝2.7 １８２８ １８２８ ４５ ９０ ４５・・・
なので、比較的記憶しやすいのでありました（それを最初に言えってか？）。
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