複素数 X=x+yⅰ :ⅰ2=-1
を用いた方法です。
これを代入して
a(x+yⅰ)2+b(x+yⅰ)+c=0
実数部: a(x2-y2)+bx+c=0
虚数部: (2ax+b)y=0
y≠0として x=-b/2a
ay2=ax2+bx+c より
y2=(-b/2a)2+(b/a)(-b/2a)+c/a
= (-b2+4ac)/(4a2)
y=±√(-b2+4ac)/(2|a|)
∴ X=-b/2a±i√(-b2+4ac)/(2|a|)
例
X2+X+1=0
実数部: x2-y2+x+1=0
虚数部: (2x+1)y=0
x=-1/2
y2=(-1/2)2+(-1/2)+1=3/4
X=x+yi=-1/2±i(√3)/2
計算自体は、微分を使った方法と同様ですが、
複素数を認めることで、かなり垢抜けた感じがします。
次元解析を使った方法です。
数学者からみると、まさに邪道ともいえる代物です。
Xの次元[X]を長さLとします。
aX2+bX+cの次元を体積L3 とします.
[a][X]2+[b][X]+[c]=L3
[a]L2+[b]L+[c]=L3
よって、
[a]=L [b]=L2 [c]=L3
[X]=Lを求めるには、係数a、b、cからLの次元をもつ、
b/a、 c/b、 (√(b2+K・ac))/a などが候補です。
Kは無次元の定数です([K]=φ)。
aはゼロでないとしているので、aで割る分にはOK。
c/bは、b=0のとき使えないのでボツ。cで割る場合も同じことです。
a・bやcの三乗根なんてものもありますが、この際ほっときましょ。
定係数K1、K2、K3を使って、
α=K1・b/a+K2・(√(b2+K3・ac))/a
β=K1・b/a-K2・(√(b2+K3・ac))/a
とおきます。
ここで、根と係数の関係式から、
α+β=2・K1・b/a =-b/a ∴ K1=-1/2
α・β=(K1・b/a)2-(K2/a)2(b2+K3・ac)=c/a
(K1・b/a)2-(K2・b/a)2 -(K2)2K3・c/a で
bの項は無用なので、
K1=K2
-(K2)2 K3=1から
K3=-(K2)-2=-4
例
3X2+X-2=0
X=K1/3±K2・(√(1-6・K3))/3 とおきます。
α+β=-1/3 から 2K1=-1 K1=-1/2
α・β=-2/3から
K1=K2 と
(K2)2・6・K3/9=-2/3
K3=-((2/3)・9/6)・4=-4
∴ X=-1/6±(√(1-6・(-4))/6
=-1/6±5/6
=-1 または +2/3
実は、3が1と3の積で、-2が、1と-2の積なので、
(3X-2)(X+1)=0に因数分解できます。
何十年も経って、定係数K1、K2、K3をうろ覚えの方にはいいかも知れませんが、
こんな面倒な計算やってられるか!、という方には、根の公式を再び丸暗記する方法をお勧めいたします。
無理やり因数分解を推し進める方法です。
a(X+B)2-C=0の形に変形します。
C≧0の場合、C=(√C)2
(√a・(X+B)+√C)(√a・(X+B)-√C)=0
∴ X=-B±√(C/a)
C<0の場合、C=(i√|C|)2
(√a・(X+B)+i√|C|)(√a・(X+B)-i√|C|)=0
∴ X=-B±i√(|C|/a)
例
X2+2X+2=0
(X+1)2+1=0
(X+1)2-i2=0
(X+1+i)(X+1-i)=0
X=-1±i
この方法は正道であり、根の公式を求める場合にも通用します。
但し、公式など無用というワケにはいきません(制限時間がありますので)。
もっとカンタンな方法があるかも知れませんが、
カンタンなものほど人は忘れてしまうものです。
グラスマン数θを使う方法で、
θのn(≧2)乗はゼロという、ちょっと得たいの知れぬ数です。
Y(X)=aX2+bX+c=0 (a≠0)
Y(X+θ)=a(X+θ)2+b(X+θ)+c
=aX2+bX+c+(2aX+b)θ
=(2aX+b)θ
Y(X+θ)=Y(X)=0とし、θずらしてもYが変化しないX値から極値が求まります。
2aX+b=0 より X=-b/(2a)なので、
あとは2次方程式の解(その2)のやり方を踏襲します。
例
6X2+3X-1=0
6(X+θ)2+3(X+θ)-1
=(6・2X+3)θ=0
ゆえに X=-1/4 (∵ θ≠0)
左辺に代入して
6/16-3/4-1=-11/8
符号を反転し、6で割って平方根を計算すると、
√(11/8/6)=(1/4)√(11/3)
根: -1/4 ±(√33)/12
Cf)
グラスマン数θ1,θ2は、
{θ1,θ2}=θ1θ2+θ2θ1=0 :反交換関係
を満たすので、
θ1=θ2=θとおくと、2・θ2=0より、θ2=0となります。