（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝０　から

Ｘ2－（α＋β）Ｘ＋αβ＝０

ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０　（ａ≠０）　をａで除算して

Ｘ2＋（ｂ／ａ）Ｘ＋（ｃ／ａ）＝０

上式と比較すると　　α＋β＝－（ｂ／ａ）　＝Ｂ　と置く

　　　　　　　　　　αβ　＝　　ｃ／ａ　　＝Ｃ　と置く

根と係数の関係式が得られます。

（α－β）2＝（α＋β）2－４αβ＝Ｂ２－４Ｃ　

α＞βとすると、　α－β＝√（Ｂ２－４Ｃ）　＝Ｄと置く

∴　α＝（Ｂ＋Ｄ）／２

　　β＝（Ｂ－Ｄ）／２

　根の公式は、

　αorβ＝（Ｂ±Ｄ）／２　＝－（ｂ／２ａ）±√（ｂ２－４ａｃ）／（２｜ａ｜）

例

　６Ｘ2＋３Ｘ－１＝０　　

　６で割って、

　Ｘ2＋（１／２）Ｘ－１／６＝０

　　Ｂ＝－１／２

　　Ｃ＝－１／６

　　Ｄ＝（√３３）／６

　　根：－１／４　±（√３３）／１２

Ｙ（Ｘ）＝ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０　（ａ≠０）

Ｘで微分すると　Ｙ'（Ｘ）＝２ａＸ＋ｂ　

これをゼロとおくと　Ｘ＝－（ｂ／２ａ） ＝Ｘc　とする

Ｙ（Ｘc）＝ａ（ｂ／２ａ）2－ｂ（ｂ／２ａ）＋ｃ

　　　　　＝－（ｂ2－４ａｃ）／４ａ　　＝Ｙc　とする

Ｙ（Ｘ）＝ａ（Ｘ－Ｘc）2  ＋Ｙc 　と表せるので、Ｙ（Ｘ）＝０とすると

　　　（Ｘ－Ｘc）2  ＝－Ｙc／ａ

　　∴　Ｘ＝　－（ｂ／２ａ）±√（ｂ2－４ａｃ）　／（２｜ａ｜）

要するに、Ｙ（Ｘ）の中心をＸ方向にずらして原点位置にしてから平方根を計算する方法です。

計算の得意でない小生には根の公式を鵜呑みにするといった芸当は不可能であったという記憶をいまだに再生可能です。

例

　６Ｘ2＋３Ｘ－１＝０　　

　左辺をＸで微分し、１２Ｘ＋３＝０から　Ｘ＝－１／４

　左辺に代入して

　　　６／１６－３／４－１＝－１１／８

　符号を反転し、６で割って平方根を計算すると、

　　√（１１／８／６）＝（１／４）√（１１／３）

　根：　－１／４　±（√３３）／１２

　　複素数　Ｘ＝ｘ＋ｙⅰ　　　：ⅰ２＝－１

を用いた方法です。

これを代入して

　ａ（ｘ＋ｙⅰ）2＋ｂ（ｘ＋ｙⅰ）＋ｃ＝０

実数部：　ａ（ｘ2－ｙ2）＋ｂｘ＋ｃ＝０

虚数部：　（２ａｘ＋ｂ）ｙ＝０

　ｙ≠０として　ｘ＝－ｂ／２ａ

　ａｙ2＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ　より

　　ｙ2＝（－ｂ／２ａ）2＋（ｂ／ａ）（－ｂ／２ａ）＋ｃ／ａ

　　　 ＝　（－ｂ2＋４ａｃ）／（４ａ2）

     　ｙ＝±√（－ｂ2＋４ａｃ）／（２｜ａ｜）

　∴　Ｘ＝－ｂ／２ａ±ｉ√（－ｂ2＋４ａｃ）／（２｜ａ｜）

例

　Ｘ2＋Ｘ＋１＝０

　実数部：　ｘ2－ｙ2＋ｘ＋１＝０

　虚数部：　（２ｘ＋１）ｙ＝０

ｘ＝－１／２

ｙ2＝（－１／２）2＋（－１／２）＋１＝３／４

Ｘ＝ｘ＋ｙｉ＝－１／２±ｉ（√３）／２

計算自体は、微分を使った方法と同様ですが、

複素数を認めることで、かなり垢抜けた感じがします。

次元解析を使った方法です。

数学者からみると、まさに邪道ともいえる代物です。

Ｘの次元［Ｘ］を長さＬとします。

ａＸ2＋ｂＸ＋ｃの次元を体積Ｌ3　とします.

［ａ］［Ｘ］2＋［ｂ］［Ｘ］＋［ｃ］＝Ｌ3

［ａ］Ｌ2＋［ｂ］Ｌ＋［ｃ］＝Ｌ3

よって、

［ａ］＝Ｌ　［ｂ］＝Ｌ2　　　［ｃ］＝Ｌ3

［Ｘ］＝Ｌを求めるには、係数ａ、ｂ、ｃからＬの次元をもつ、

　ｂ／ａ、　ｃ／ｂ、　（√（ｂ2＋Ｋ・ａｃ））／ａ　などが候補です。

　Ｋは無次元の定数です（［Ｋ］＝φ）。

　ａはゼロでないとしているので、ａで割る分にはＯＫ。

　ｃ／ｂは、ｂ＝０のとき使えないのでボツ。ｃで割る場合も同じことです。

　ａ・ｂやｃの三乗根なんてものもありますが、この際ほっときましょ。

定係数Ｋ1、Ｋ2、Ｋ3を使って、

　α＝Ｋ1・ｂ／ａ＋Ｋ2・（√（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ））／ａ

　β＝Ｋ1・ｂ／ａ－Ｋ2・（√（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ））／ａ

とおきます。

　ここで、根と係数の関係式から、

　α＋β＝２・Ｋ1・ｂ／ａ　＝－ｂ／ａ   　　　　∴　Ｋ1＝－１／２

　α・β＝（Ｋ1・ｂ／ａ）2－（Ｋ2／ａ）2（ｂ2＋Ｋ3・ａｃ）＝ｃ／ａ

　　（Ｋ1・ｂ／ａ）2－（Ｋ2・ｂ／ａ）2　－（Ｋ2）2Ｋ3・ｃ／ａ　で

　　　ｂの項は無用なので、

　　　　Ｋ1＝Ｋ2

　 　－（Ｋ2）2  Ｋ3＝１から

　　　　Ｋ3＝－（Ｋ2）-2＝－４

例

　　３Ｘ2＋Ｘ－２＝０

　　Ｘ＝Ｋ1／３±Ｋ2・（√（１－６・Ｋ3））／３　とおきます。

　　α＋β＝－１／３　から　２Ｋ1＝－１　Ｋ1＝－１／２

　　α・β＝－２／３から

　　　Ｋ1＝Ｋ2 と

　　（Ｋ2）2・６・Ｋ3／９＝－２／３

　　　Ｋ3＝－（（２／３）・９／６）・４＝－４

∴　Ｘ＝－１／６±（√（１－６・（－４））／６

　　　＝－１／６±５／６

　　　＝－１　または　＋２／３

　実は、３が１と３の積で、－２が、１と－２の積なので、

　（３Ｘ－２）（Ｘ＋１）＝０に因数分解できます。

何十年も経って、定係数Ｋ1、Ｋ2、Ｋ3をうろ覚えの方にはいいかも知れませんが、

こんな面倒な計算やってられるか！、という方には、根の公式を再び丸暗記する方法をお勧めいたします。