ラグランジアンL=(1/2)m(x・j)2-U m:物体1の質量 U:ポテンシャルエナジー
ハミルトニアンH=pjx・j-L
正準運動量 pj=∂H/∂x・j
x・j=∂H/∂pj
p・j=-∂H/∂xj
A・=(∂A/∂pj)p・j+(∂A/∂xj)x・j
=(∂A/∂pj)(-∂H/∂xj)+(∂A/∂xj)(∂H/∂pj)
=[A,H]PB :ポアッソンブラケット
H・=[H,H]PB =0 :エナジーの保存
p・j=[p・j,H]PB
x・j=[x・j,H]PB
U=-m(GM/r)
=-mk/r
G:万有引力定数 M:物体2の質量 r:物体1と2の距離
k=GM
p・j=[p・j,U]
=-∂j(-mk/r) :∂j=∂/∂xj
=-(mk/r2)(xj/r)
=- mkxj/r3
p・j=mx・・j
x・・j =-kxj/r3 :慣性質量 ∝ 重力質量
第1則
惑星の軌道は太陽の位置を焦点とする楕円である。
一般化すると、軌道は焦点を基準とする円錐曲線であり、周期運動の場合に楕円になります。
第2則
惑星の面積速度(単位時間に惑星が移動する面積)は一定である。
惑星の角運動量が一定であることと等価です(角運動量の保存則)。
第3則
各惑星の軌道半径a(長径)の3乗と公転周期Tの2乗との比(a3/T2)は一定である。
2つの物体の間に働く万有引力が両者間の距離の2乗に反比例することから、ニュートン氏によって解明されました。
Z=rexp(X)=zjIj :j=1~3 (前掲)
ニュートン氏の運動方程式
Z・・ =-kZ/r3
ドット記号
1階の時間微分:Z・ X・ r・ φ・
2階の時間微分:Z・・ X・・ r・・ φ・・
Z・=r・exp(X)+rX・exp(X)
=(r・I0+rX・)exp(X)
Z・・=(r・・I0+r・X・+rX・・)exp(X)
+(r・I0+rX・)X・exp(X)
=(r・・I0+2r・X・+rX・・+r(X・)2I0)exp(X)
=-kexp(X)/r2
r・・I0+2r・X・+rX・・+r(X・)2I0 =-kI0 /r2
I0に注目
r・・+r(X・)2=-k/r2 (1)式
残り
2r・X・+rX・・=0 (2)式
まずは(2)式から
両辺にrをかけて積分します。
r2X・ =α (2A)式
積分定数α=αjIj
(2A)式は、角運動量が時間によらず、一定であること(第2則)に相当します。
|α|は面積速度の2倍です。
スカラー積
r2(X,X・)=r(α,rX)=0 であるため、惑星の軌道面はα方向に対して垂直で原点(太陽位置)を含む平面です。軌道面を傾けてθ=π/2としてみましょう。
z1=rcosθ=0
z2=rsinθcosφ=rcosφ
z3=rsinθsinφ=rsinφ
ご存知のように極座標で表現できます。
複素平面(ガウス平面)が好みだという方は、I2を掛け算して
I2(z2I2+z3I3)
=z2I0+z3I1
=r(cosφI0+sinφI1)
=rexp(φI1)
I0=1 I1=i とおいて
Z=rexp(φi)
で計算願います。
r・・-r(φ・)2=-k/r2 (1)式
2r・φ・+rφ・・=0 (2)式
が出てきます。
え? 初めから、こうすればいい? それではハミルトン氏の苦労が浮かばれません。
次は(1)式の両辺にr・を掛け算して積分しましょう。
r・r・・+r・r(X・)2=-kr・/r2
(2A)式から
(X・)2=α2/r4=-|α|2I0/r4
(1/2)(r・)2=k/r-(1/2)|α|2/r2 +C (1A)式
Cは積分定数です。積分が面倒な方は(1A)式を微分願います。
(1A)式は、mを掛ければ分かるようにエナジーの保存則に相当します。