Ｚ＝ｒexp（Ｘ）＝ｚjＩj      ：j=1～3　（前掲）

　ニュートン氏の運動方程式

　Ｚ・・　＝－ｋＺ／ｒ3

　ドット記号

　１階の時間微分：Ｚ・　　Ｘ・　　ｒ・　　　φ・

　２階の時間微分：Ｚ・・　Ｘ・・　ｒ・・　　φ・・

 Ｚ・＝ｒ・exp（Ｘ）＋ｒＸ・exp（Ｘ）

＝（ｒ・Ｉ0＋ｒＸ・）exp（Ｘ）

 Ｚ・・＝（ｒ・・Ｉ0＋ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・）exp（Ｘ）

　　　　＋（ｒ・Ｉ0＋ｒＸ・）Ｘ・exp（Ｘ）

　＝（ｒ・・Ｉ0＋２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＋ｒ(Ｘ・)2Ｉ0）exp（Ｘ）

  ＝－ｋexp（Ｘ）／ｒ2

ｒ・・Ｉ0＋２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＋ｒ(Ｘ・)2Ｉ0  ＝－ｋＩ0 ／ｒ2

Ｉ0に注目　　

　　　ｒ・・＋ｒ(Ｘ・)2＝－ｋ／ｒ2　　　 （１）式 　

 残り　

　 　２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＝０　　　　　　（２）式

　まずは（２）式から

　両辺にｒをかけて積分します。

　 ｒ2Ｘ・ ＝α　　　　（２Ａ）式

積分定数α＝αjＩj

　（２Ａ）式は、角運動量が時間によらず、一定であること（第２則）に相当します。

　｜α｜は面積速度の２倍です。

　スカラー積

ｒ2（Ｘ,Ｘ・）＝ｒ（α,ｒＸ）＝０　であるため、惑星の軌道面はα方向に対して垂直で原点（太陽位置）を含む平面です。軌道面を傾けてθ＝π／２としてみましょう。

　ｚ1＝ｒcosθ＝０

　ｚ2＝ｒsinθcosφ＝ｒcosφ

　ｚ3＝ｒsinθsinφ＝ｒsinφ

ご存知のように極座標で表現できます。

複素平面(ガウス平面)が好みだという方は、Ｉ2を掛け算して

Ｉ2（ｚ2Ｉ2＋ｚ3Ｉ3）

＝ｚ2Ｉ0＋ｚ3Ｉ1

＝ｒ（cosφＩ0＋sinφＩ1）

＝ｒexp（φＩ1）

Ｉ0＝１　　Ｉ1＝ｉ　とおいて

Ｚ＝ｒexp（φｉ）

で計算願います。

　　　ｒ・・－ｒ(φ・)2＝－ｋ／ｒ2　 （１）式 　

 　　２ｒ・φ・＋ｒφ・・＝０　　　　（２）式

が出てきます。

え？　初めから、こうすればいい？　それではハミルトン氏の苦労が浮かばれません。

　次は（１）式の両辺にｒ・を掛け算して積分しましょう。

　　ｒ・ｒ・・＋ｒ・ｒ(Ｘ・)2＝－ｋｒ・／ｒ2　　　　　　　

（２Ａ）式から

(Ｘ・)2＝α2／ｒ4＝－｜α｜2Ｉ0／ｒ4

（１／２）（ｒ・）2＝ｋ／ｒ－（１／２）｜α｜2／ｒ2　＋Ｃ　　　（１Ａ）式

Ｃは積分定数です。積分が面倒な方は（１Ａ）式を微分願います。

　 （１Ａ）式は、ｍを掛ければ分かるようにエナジーの保存則に相当します。

ここから先、飛躍は無用です。力技で推し進めていきます。

（１Ａ）式を変形して

　ｒ・＝√（２ｋ／ｒ－｜α｜2／ｒ2　＋２Ｃ　）

（２Ａ）式から

　φ・ ＝｜α｜／ｒ2

　ｒ・／φ・

 ＝ｄｒ／ｄφ＝（２ｋ／ｒ－｜α｜2／ｒ2　＋２Ｃ　）1/2 ｒ2／｜α｜

　u＝１／ｒなど、適宜に変数変換をして、ひたすら積分計算を遂行するのみです。

　ｒとφの関係式が得られます。　

  難しい計算ではありませんが、少々手間がかかります。しかし、貴方がその手指を動かしてやってみること自体に意義があります。そして達成感を存分に味わってください（それを奪うほどヤボではありませんので）。

 ｒ－２則なればこそ得られる感銘（なんたる偶然または必然！）を、貴方のもとに届けるには、この方法しかないのです（といえば大げさかもしれません）。

u＝１／ｒとおいて

ｒ・＝√（２ｋｕ－｜α｜2ｕ2　＋２Ｃ　）＝√Ｕ　とします。

｜α｜＝ａとして、φ・＝ａｕ2です。

ｄｒ／ｄφ＝√Ｕ　／（ａｕ2）

ｄｕ／ｄφ＝－ｕ2ｄｒ／ｄφ＝－√Ｕ　／ａ

ｄ2ｕ／ｄφ2＝－（１／（２ａ√Ｕ））（２ｋ－２ａ2ｕ）ｄｕ／ｄφ＝ｋ／ａ2－ｕ

ｄ2ｕ／ｄφ2＋ｕ＝ｋ／ａ2　　　　　（３）式

という２階の微分方程式を解きます。

特解：　ｕａ＝ｋ／ａ2

　　一般解：　Ａcos（φ－φ0）

答えは　ｕ＝ｕａ＋Ａcos（φ－φ0）をｒに戻し、

　　　　ｒ＝（１／ｕａ）／（１＋（Ａ／ｕａ）cos（φ－φ0））から初期値φ0

をゼロにして

　　　　　　　　＝Ｋ／（１＋εcosφ）　となります。

この方法に納得がいかないという貴方は、別のカンタンなやり方を発見してください（＊１）。

    なお、ニュートン氏が著書プリンキピアに書いた方法はお勧めできません。