まずは（２）式から

　両辺にｒをかけて積分します。

　 ｒ2Ｘ・ ＝α　　　　（２Ａ）式

積分定数α＝αjＩj

　（２Ａ）式は、角運動量が時間によらず、一定であること（第２則）に相当します。

　｜α｜は面積速度の２倍です。

　スカラー積

ｒ2（Ｘ,Ｘ・）＝ｒ（α,ｒＸ）＝０　であるため、惑星の軌道面はα方向に対して垂直で原点（太陽位置）を含む平面です。軌道面を傾けてθ＝π／２としてみましょう。

　ｚ1＝ｒcosθ＝０

　ｚ2＝ｒsinθcosφ＝ｒcosφ

　ｚ3＝ｒsinθsinφ＝ｒsinφ

ご存知のように極座標で表現できます。

複素平面(ガウス平面)が好みだという方は、Ｉ2を掛け算して

Ｉ2（ｚ2Ｉ2＋ｚ3Ｉ3）

＝ｚ2Ｉ0＋ｚ3Ｉ1

＝ｒ（cosφＩ0＋sinφＩ1）

＝ｒexp（φＩ1）

Ｉ0＝１　　Ｉ1＝ｉ　とおいて

Ｚ＝ｒexp（φｉ）

で計算願います。

　　　ｒ・・－ｒ(φ・)2＝－ｋ／ｒ2　 （１）式 　

 　　２ｒ・φ・＋ｒφ・・＝０　　　　（２）式

が出てきます。

え？　初めから、こうすればいい？　それではハミルトン氏の苦労が浮かばれません。

　次は（１）式の両辺にｒ・を掛け算して積分しましょう。

　　ｒ・ｒ・・＋ｒ・ｒ(Ｘ・)2＝－ｋｒ・／ｒ2　　　　　　　

（２Ａ）式から

(Ｘ・)2＝α2／ｒ4＝－｜α｜2Ｉ0／ｒ4

（１／２）（ｒ・）2＝ｋ／ｒ－（１／２）｜α｜2／ｒ2　＋Ｃ　　　（１Ａ）式

Ｃは積分定数です。積分が面倒な方は（１Ａ）式を微分願います。

　 （１Ａ）式は、ｍを掛ければ分かるようにエナジーの保存則に相当します。

ここから先、飛躍は無用です。力技で推し進めていきます。

（１Ａ）式を変形して

　ｒ・＝√（２ｋ／ｒ－｜α｜2／ｒ2　＋２Ｃ　）

（２Ａ）式から

　φ・ ＝｜α｜／ｒ2

　ｒ・／φ・

 ＝ｄｒ／ｄφ＝（２ｋ／ｒ－｜α｜2／ｒ2　＋２Ｃ　）1/2 ｒ2／｜α｜

　u＝１／ｒなど、適宜に変数変換をして、ひたすら積分計算を遂行するのみです。

　ｒとφの関係式が得られます。　

  難しい計算ではありませんが、少々手間がかかります。しかし、貴方がその手指を動かしてやってみること自体に意義があります。そして達成感を存分に味わってください（それを奪うほどヤボではありませんので）。

 ｒ－２則なればこそ得られる感銘（なんたる偶然または必然！）を、貴方のもとに届けるには、この方法しかないのです（といえば大げさかもしれません）。

u＝１／ｒとおいて

ｒ・＝√（２ｋｕ－｜α｜2ｕ2　＋２Ｃ　）＝√Ｕ　とします。

｜α｜＝ａとして、φ・＝ａｕ2です。

ｄｒ／ｄφ＝√Ｕ　／（ａｕ2）

ｄｕ／ｄφ＝－ｕ2ｄｒ／ｄφ＝－√Ｕ　／ａ

ｄ2ｕ／ｄφ2＝－（１／（２ａ√Ｕ））（２ｋ－２ａ2ｕ）ｄｕ／ｄφ＝ｋ／ａ2－ｕ

ｄ2ｕ／ｄφ2＋ｕ＝ｋ／ａ2　　　　　（３）式

という２階の微分方程式を解きます。

特解：　ｕａ＝ｋ／ａ2

　　一般解：　Ａcos（φ－φ0）

答えは　ｕ＝ｕａ＋Ａcos（φ－φ0）をｒに戻し、

　　　　ｒ＝（１／ｕａ）／（１＋（Ａ／ｕａ）cos（φ－φ0））から初期値φ0

をゼロにして

　　　　　　　　＝Ｋ／（１＋εcosφ）　となります。

この方法に納得がいかないという貴方は、別のカンタンなやり方を発見してください（＊１）。

    なお、ニュートン氏が著書プリンキピアに書いた方法はお勧めできません。

 ｒ＝Ｋ／（１＋εｃｏｓφ)

記号

Ｏ（0，0）：原点＝第１焦点

Ｐ（ｘ,ｙ）:軌道上の点

Ｆ（－２ｆ,０）：第２焦点

ｆ：焦点距離

極座標表示　　ｘ＝ｒ・ｃｏｓφ　　　　ｒ：動径　　φ：角度

　　　　　　　ｙ＝ｒ・ｓｉｎφ

i）放物線

　ｒ＝ｘ＋２・ｆ＝ｒ・ｃｏｓφ＋２・ｆ

　ｒ・（１－ｃｏｓφ）＝２・ｆ

　ｒ＝２・ｆ/（１－ｃｏｓφ）　　：Ｋ＝２・ｆ　ε＝－１

 　ｒ2＝ｘ2+ｙ2＝（ｘ＋２・ｆ）2

　　　　　　　ｙ2＝４・ｆ・（ｘ＋ｆ）　　

ii）楕円

　ＯＰ＋ＯＦ＝２・ａ（一定）

　ｒ＋√（（ｘ＋２ｆ）2＋ｙ2）＝２・ａ

　　　　４ｒ・（ｆ・ｃｏｓφ＋ａ）＝４・（ａ2－ｆ2）

     　　　ｒ（θ）＝（ａ－ｆ2／ａ）／（１＋（ｆ／ａ）・ｃｏｓφ）

　　　　　　ｆ＝√（ａ2－ｂ2）から　

　　　　　　　　　　　Ｋ＝ｂ2／ａ

　　　　　　　　　　　ε＝√（１－（ｂ／ａ）2）　＜１

　　　　　（（ｘ＋ｆ)／ａ）2＋（ｙ／ｂ）2＝１

cf）  （ｒ（0）＋ｒ（π））／２＝ａ   :算術（相加）平均

　　　√（ｒ（0）・ｒ（π））＝ｂ     ：幾何（相乗）平均

iii）双曲線

　　ＯＦ－ＯＰ＝２・ａ（一定）

    √（（ｘ＋２・ｆ）2＋ｙ2）－ｒ＝２・ａ

          ４ｒ・（ｆ・ｃｏｓφ－ａ）＝４・（ａ2－ｆ2）

     　　　ｒ＝（－ａ＋ｆ2／ａ）／（１－（ｆ／ａ）・ｃｏｓφ）

　　　　　　ｆ＝√（ａ2＋ｂ2）から　

　　　　　　　　　　　Ｋ＝ｂ2／ａ

　　　　　　　　　　　ε＝√（１＋（ｂ／ａ）2）　＞１

　　（（ｘ＋ｆ)／ａ）2－（ｙ／ｂ）2＝１

cf）円錐曲線

Ｘ2＋Ｙ2－Ｇ・Ｚ2＝0　　と

Ａ・Ｘ＋Ｂ・Ｙ＋Ｃ・Ｚ＝Ｄ　の交線