u＝１／ｒとおいて

ｒ・＝√（２ｋｕ－｜α｜2ｕ2　＋２Ｃ　）＝√Ｕ　とします。

｜α｜＝ａとして、φ・＝ａｕ2です。

ｄｒ／ｄφ＝√Ｕ　／（ａｕ2）

ｄｕ／ｄφ＝－ｕ2ｄｒ／ｄφ＝－√Ｕ　／ａ

ｄ2ｕ／ｄφ2＝－（１／（２ａ√Ｕ））（２ｋ－２ａ2ｕ）ｄｕ／ｄφ＝ｋ／ａ2－ｕ

ｄ2ｕ／ｄφ2＋ｕ＝ｋ／ａ2　　　　　（３）式

という２階の微分方程式を解きます。

特解：　ｕａ＝ｋ／ａ2

　　一般解：　Ａcos（φ－φ0）

答えは　ｕ＝ｕａ＋Ａcos（φ－φ0）をｒに戻し、

　　　　ｒ＝（１／ｕａ）／（１＋（Ａ／ｕａ）cos（φ－φ0））から初期値φ0

をゼロにして

　　　　　　　　＝Ｋ／（１＋εcosφ）　となります。

この方法に納得がいかないという貴方は、別のカンタンなやり方を発見してください（＊１）。

    なお、ニュートン氏が著書プリンキピアに書いた方法はお勧めできません。

 ｒ＝Ｋ／（１＋εｃｏｓφ)

記号

Ｏ（0，0）：原点＝第１焦点

Ｐ（ｘ,ｙ）:軌道上の点

Ｆ（－２ｆ,０）：第２焦点

ｆ：焦点距離

極座標表示　　ｘ＝ｒ・ｃｏｓφ　　　　ｒ：動径　　φ：角度

　　　　　　　ｙ＝ｒ・ｓｉｎφ

i）放物線

　ｒ＝ｘ＋２・ｆ＝ｒ・ｃｏｓφ＋２・ｆ

　ｒ・（１－ｃｏｓφ）＝２・ｆ

　ｒ＝２・ｆ/（１－ｃｏｓφ）　　：Ｋ＝２・ｆ　ε＝－１

 　ｒ2＝ｘ2+ｙ2＝（ｘ＋２・ｆ）2

　　　　　　　ｙ2＝４・ｆ・（ｘ＋ｆ）　　

ii）楕円

　ＯＰ＋ＯＦ＝２・ａ（一定）

　ｒ＋√（（ｘ＋２ｆ）2＋ｙ2）＝２・ａ

　　　　４ｒ・（ｆ・ｃｏｓφ＋ａ）＝４・（ａ2－ｆ2）

     　　　ｒ（θ）＝（ａ－ｆ2／ａ）／（１＋（ｆ／ａ）・ｃｏｓφ）

　　　　　　ｆ＝√（ａ2－ｂ2）から　

　　　　　　　　　　　Ｋ＝ｂ2／ａ

　　　　　　　　　　　ε＝√（１－（ｂ／ａ）2）　＜１

　　　　　（（ｘ＋ｆ)／ａ）2＋（ｙ／ｂ）2＝１

cf）  （ｒ（0）＋ｒ（π））／２＝ａ   :算術（相加）平均

　　　√（ｒ（0）・ｒ（π））＝ｂ     ：幾何（相乗）平均

iii）双曲線

　　ＯＦ－ＯＰ＝２・ａ（一定）

    √（（ｘ＋２・ｆ）2＋ｙ2）－ｒ＝２・ａ

          ４ｒ・（ｆ・ｃｏｓφ－ａ）＝４・（ａ2－ｆ2）

     　　　ｒ＝（－ａ＋ｆ2／ａ）／（１－（ｆ／ａ）・ｃｏｓφ）

　　　　　　ｆ＝√（ａ2＋ｂ2）から　

　　　　　　　　　　　Ｋ＝ｂ2／ａ

　　　　　　　　　　　ε＝√（１＋（ｂ／ａ）2）　＞１

　　（（ｘ＋ｆ)／ａ）2－（ｙ／ｂ）2＝１

cf）円錐曲線

Ｘ2＋Ｙ2－Ｇ・Ｚ2＝0　　と

Ａ・Ｘ＋Ｂ・Ｙ＋Ｃ・Ｚ＝Ｄ　の交線