第1則
惑星の軌道は太陽の位置を焦点とする楕円である。
一般化すると、軌道は焦点を基準とする円錐曲線であり、周期運動の場合に楕円になります。
第2則
惑星の面積速度(単位時間に惑星が移動する面積)は一定である。
惑星の角運動量が一定であることと等価です(角運動量の保存則)。
第3則
各惑星の軌道半径a(長径)の3乗と公転周期Tの2乗との比(a3/T2)は一定である。
2つの物体の間に働く万有引力が両者間の距離の2乗に反比例することから、ニュートン氏によって解明されました。
Z=rexp(X)=zjIj :j=1~3 (前掲)
ニュートン氏の運動方程式
Z・・ =-kZ/r3
ドット記号
1階の時間微分:Z・ X・ r・ φ・
2階の時間微分:Z・・ X・・ r・・ φ・・
Z・=r・exp(X)+rX・exp(X)
=(r・I0+rX・)exp(X)
Z・・=(r・・I0+r・X・+rX・・)exp(X)
+(r・I0+rX・)X・exp(X)
=(r・・I0+2r・X・+rX・・+r(X・)2I0)exp(X)
=-kexp(X)/r2
r・・I0+2r・X・+rX・・+r(X・)2I0 =-kI0 /r2
I0に注目
r・・+r(X・)2=-k/r2 (1)式
残り
2r・X・+rX・・=0 (2)式
まずは(2)式から
両辺にrをかけて積分します。
r2X・ =α (2A)式
積分定数α=αjIj
(2A)式は、角運動量が時間によらず、一定であること(第2則)に相当します。
|α|は面積速度の2倍です。
スカラー積
r2(X,X・)=r(α,rX)=0 であるため、惑星の軌道面はα方向に対して垂直で原点(太陽位置)を含む平面です。軌道面を傾けてθ=π/2としてみましょう。
z1=rcosθ=0
z2=rsinθcosφ=rcosφ
z3=rsinθsinφ=rsinφ
ご存知のように極座標で表現できます。
複素平面(ガウス平面)が好みだという方は、I2を掛け算して
I2(z2I2+z3I3)
=z2I0+z3I1
=r(cosφI0+sinφI1)
=rexp(φI1)
I0=1 I1=i とおいて
Z=rexp(φi)
で計算願います。
r・・-r(φ・)2=-k/r2 (1)式
2r・φ・+rφ・・=0 (2)式
が出てきます。
え? 初めから、こうすればいい? それではハミルトン氏の苦労が浮かばれません。
次は(1)式の両辺にr・を掛け算して積分しましょう。
r・r・・+r・r(X・)2=-kr・/r2
(2A)式から
(X・)2=α2/r4=-|α|2I0/r4
(1/2)(r・)2=k/r-(1/2)|α|2/r2 +C (1A)式
Cは積分定数です。積分が面倒な方は(1A)式を微分願います。
(1A)式は、mを掛ければ分かるようにエナジーの保存則に相当します。
ここから先、飛躍は無用です。力技で推し進めていきます。
(1A)式を変形して
r・=√(2k/r-|α|2/r2 +2C )
(2A)式から
φ・ =|α|/r2
r・/φ・
=dr/dφ=(2k/r-|α|2/r2 +2C )1/2 r2/|α|
u=1/rなど、適宜に変数変換をして、ひたすら積分計算を遂行するのみです。
rとφの関係式が得られます。
難しい計算ではありませんが、少々手間がかかります。しかし、貴方がその手指を動かしてやってみること自体に意義があります。そして達成感を存分に味わってください(それを奪うほどヤボではありませんので)。
r-2則なればこそ得られる感銘(なんたる偶然または必然!)を、貴方のもとに届けるには、この方法しかないのです(といえば大げさかもしれません)。