天中察

たぶん誰かが愛したであろうケプラー氏の発見


 第1則

  惑星の軌道は太陽の位置を焦点とする楕円である。

  

  一般化すると、軌道は焦点を基準とする円錐曲線であり、周期運動の場合に楕円になります。

 

 第2則

惑星の面積速度(単位時間に惑星が移動する面積)は一定である。


惑星の角運動量が一定であることと等価です(角運動量の保存則)。

 

 第3則

  各惑星の軌道半径(長径)の3乗と公転周期Tの2乗との比(3/T2)は一定である。

   

    2つの物体の間に働く万有引力が両者間の距離の2乗に反比例することから、ニュートン氏によって解明されました。

確かめよう


 Z=rexp(X)=zjj      j=13 (前掲)

 ニュートン氏の運動方程式

 Z・・ =-kZ/r3

 

 ドット記号

 1階の時間微分:・  ・  ・   φ

 2階の時間微分:・・ ・・ ・・  φ・・


 Z=rexp(X)+rXexp(X)

=(r0+rXexp(X)


 Z・・=(r・・0+r+rX・・exp(X)

    +(r0+rX)Xexp(X)

 =(r・・0+2r+rX・・+r()20exp(X)

  =-kexp(X)/r2


・・0+2r+rX・・+r()20  =-kI/r2


0に注目  

   ・・+r()2=-k/r2    (1)式  

 残り 

   2r+rX・・=0      (2)式




ちょっとした飛躍


 まずは(2)式から

 両辺にrをかけて積分します。

  2・ =α    (2A)式

積分定数α=αjj

    

 (2A)式は、角運動量が時間によらず、一定であること(第2則)に相当します。

 |α|は面積速度の2倍です。

 スカラー積

2(X,)=r(α,rX)=0 であるため、惑星の軌道面はα方向に対して垂直で原点(太陽位置)を含む平面です。軌道面を傾けてθ=π/2としてみましょう。

  

 z1=rcosθ=0

 z2=rsinθcosφ=rcosφ

 z3=rsinθsinφ=rsinφ

ご存知のように極座標で表現できます。

複素平面(ガウス平面)が好みだという方は、I2を掛け算して

2(z22+z33

=z20+z31

=r(cosφI0sinφI1

exp(φI1

0=1  I1=i とおいて

Z=rexp(φi)

で計算願います。

   ・・-r(φ)2=-k/r2  (1)式  

   2rφ+rφ・・=0    (2)式

が出てきます。

え? 初めから、こうすればいい? それではハミルトン氏の苦労が浮かばれません。


 次は(1)式の両辺にrを掛け算して積分しましょう。

  ・・+r()2=-k/r2       

(2A)式から

()2=α24=-|α|204

(1/2)(r2=k/r-(1/2)|α|22 +C   (1A)式


Cは積分定数です。積分が面倒な方は(1A)式を微分願います。

  (1A)式は、mを掛ければ分かるようにエナジーの保存則に相当します。

達成感

ここから先、飛躍は無用です。力技で推し進めていきます。


(1A)式を変形して

 r=√(2k/r-|α|22 +2C 

(2A)式から

 φ・ =|α|/2

 φ

 =dr/dφ=(2k/r-|α|22 +2C 1/2 2/|α|


 u=1/rなど、適宜に変数変換をして、ひたすら積分計算を遂行するのみです。

 rとφの関係式が得られます。 

  難しい計算ではありませんが、少々手間がかかります。しかし、貴方がその手指を動かしてやってみること自体に意義があります。そして達成感を存分に味わってください(それを奪うほどヤボではありませんので)。

 r-2則なればこそ得られる感銘(なんたる偶然または必然!)を、貴方のもとに届けるには、この方法しかないのです(といえば大げさかもしれません)。

無名のヒト
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