ただし、　頭を丸めても理解できるとは限りません。

　ρ＝√（ｘjｘj）＝π／２　とします。　π：円周率

　ｘ1＝ρcosθ

　ｘ2＝ρsinθcosφ

　ｘ3＝ρsinθsinφ

　exp（Ｘ）＝Ｉ0 cos（π／２）＋（２Ｘ／π）sin（π／２）　　

　　　　　　　　　　＝（２Ｘ／π）

　Ｚ＝ｒ・（２Ｘ／π）＝ｒexp（Ｘ）　　　　ｒ：動径

　ｚ1＝ｒcosθ

　ｚ2＝ｒsinθcosφ

　ｚ3＝ｒsinθsinφ

　Ｚ＝ｚjＩj

　ラグランジアンＬ＝（１／２）ｍ（ｘ・j）2－Ｕ　ｍ：物体１の質量　Ｕ：ポテンシャルエナジー

　ハミルトニアンＨ＝ｐjｘ・j－Ｌ

　 正準運動量　ｐj＝∂Ｈ／∂ｘ・j

   ｘ・j＝∂Ｈ／∂ｐj

   ｐ・j＝－∂Ｈ／∂ｘj

　Ａ・＝（∂Ａ／∂ｐj）ｐ・j＋（∂Ａ／∂ｘj）ｘ・j

　　　　＝（∂Ａ／∂ｐj）（－∂Ｈ／∂ｘj）＋（∂Ａ／∂ｘj）（∂Ｈ／∂ｐj）

　　 ＝［Ａ，Ｈ］PB     　　　　　：ポアッソンブラケット

　Ｈ・＝［Ｈ，Ｈ］PB　＝０　　：エナジーの保存

ｐ・j＝［ｐ・j，Ｈ］PB　　

ｘ・j＝［ｘ・j，Ｈ］PB　

Ｕ＝－ｍ（ＧＭ／ｒ）

　＝－ｍｋ／ｒ　　　

Ｇ：万有引力定数　　Ｍ：物体２の質量　　ｒ：物体１と２の距離

　　　ｋ＝ＧＭ

   ｐ・j＝［ｐ・j，U］

       ＝－∂j（－ｍｋ／ｒ）　　　：∂j＝∂／∂ｘj

　　　 ＝－（ｍｋ／ｒ2）（ｘj／ｒ）

　　　 ＝－ ｍｋｘj／ｒ3

　　ｐ・j＝mｘ・・j　

　　ｘ・・j　＝－ｋｘj／ｒ3　　　　　　　：慣性質量　∝　重力質量

　第１則

　　惑星の軌道は太陽の位置を焦点とする楕円である。

　　一般化すると、軌道は焦点を基準とする円錐曲線であり、周期運動の場合に楕円になります。

　第２則

惑星の面積速度（単位時間に惑星が移動する面積）は一定である。

惑星の角運動量が一定であることと等価です（角運動量の保存則）。

　第３則

　　各惑星の軌道半径ａ(長径）の３乗と公転周期Ｔの２乗との比（ａ3／Ｔ2）は一定である。

    ２つの物体の間に働く万有引力が両者間の距離の２乗に反比例することから、ニュートン氏によって解明されました。

　Ｚ＝ｒexp（Ｘ）＝ｚjＩj      ：j=1～3　（前掲）

　ニュートン氏の運動方程式

　Ｚ・・　＝－ｋＺ／ｒ3

　ドット記号

　１階の時間微分：Ｚ・　　Ｘ・　　ｒ・　　　φ・

　２階の時間微分：Ｚ・・　Ｘ・・　ｒ・・　　φ・・

 Ｚ・＝ｒ・exp（Ｘ）＋ｒＸ・exp（Ｘ）

＝（ｒ・Ｉ0＋ｒＸ・）exp（Ｘ）

 Ｚ・・＝（ｒ・・Ｉ0＋ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・）exp（Ｘ）

　　　　＋（ｒ・Ｉ0＋ｒＸ・）Ｘ・exp（Ｘ）

　＝（ｒ・・Ｉ0＋２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＋ｒ(Ｘ・)2Ｉ0）exp（Ｘ）

  ＝－ｋexp（Ｘ）／ｒ2

ｒ・・Ｉ0＋２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＋ｒ(Ｘ・)2Ｉ0  ＝－ｋＩ0 ／ｒ2

Ｉ0に注目　　

　　　ｒ・・＋ｒ(Ｘ・)2＝－ｋ／ｒ2　　　 （１）式 　

 残り　

　 　２ｒ・Ｘ・＋ｒＸ・・＝０　　　　　　（２）式