量子のツブヤキ
交換関係と相対性原理
Ｓ系
［Ｐ1，Ｘ1］＝－ｉ
［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ
Ｓ’系
Ａ＝［Ｐ’1，Ｘ’1］
Ｂ＝［Ｐ’0，Ｘ’0］
Ｃ＝［Ｐ’1，Ｘ’0］
Ｄ＝［Ｐ’0，Ｘ’1］
Ｅ＝（Ｃ＋Ｄ）・sinh（２θ）／２
［Ｐ1，Ｘ1］
＝［Ｐ’1・coshθ＋Ｐ’0・sinhθ，Ｘ’1・coshθ＋Ｘ’0・sinhθ］
＝Ａ・（coshθ）^2＋Ｂ・（sinhθ）^2＋Ｅ
＝－ｉ
［Ｐ0，Ｘ0］
＝［Ｐ’0・coshθ＋Ｐ’1・sinhθ，Ｘ’0・coshθ＋Ｘ’1・sinhθ］
＝Ｂ・（coshθ）^2＋Ａ・（sinhθ）^2＋Ｅ
＝ｉ
（coshθ）^2・Ａ＋（sinhθ）^2・Ｂ＝－ｉ－Ｅ
（sinhθ）^2・Ａ＋（coshθ）^2・Ｂ＝ｉ－Ｅ
Ｔ（θ）
＝（ （coshθ）^2 （sinhθ）^2
（sinhθ）^2 （coshθ）^2 ）
ｄｅｔＴ（θ）＝（coshθ）^4－（sinhθ）^4＝cosh（２θ）
逆行列Ｔinv（θ）
＝（１／ｄｅｔＴ（θ））
×（ （coshθ）^2 －（sinhθ）^2
－（sinhθ）^2 （coshθ）^2 ）
（Ａ
Ｂ）
＝Ｔinv（θ）
×（－ｉ－Ｅ
ｉ－Ｅ）
∴Ａ＝－ｉ－Ｅ／（cosh（２θ））
Ｂ＝ｉ－Ｅ／（cosh（２θ））
Ｅ／（cosh（２θ））＝（１／２）・（Ｃ＋Ｄ）・tanh（２θ）
β＝tanhθ＝－ｄＸ1／ｄＸ0＝－（ｄＸ1／ｄｔ）／（ｄＸ0／ｄｔ）=－Ｖ1／ｃ
tanh （２θ）＝２・tanhθ／（１＋（tanhθ）^2）＝２・β／（１＋β-2）
相対性原理により、Ｅ＝０ つまりＣ＋Ｄ＝０
Ａ＋Ｂ＝０
Ｅ：「いきなり相対性原理だと！」
θ：「そういうこと、この世界の掟だから。」
Ｅ：「いったい、どうなるんだ？」
Ａ：「君の出る幕はもうないってこと。」
Ｘ’1：「ぼくはノンビリしていいの？」
Ｄ：「わたしがゼロならね。」
Ｂ：「見方によっては案外、光速で駆けずり回らないといけないかもね。」
交換／反交換関係のローレンツ変換
記号
［Ａ，Ｂ］±＝ＡＢ±ＢＡ
慣性系Ｓ
（Ｐ0，Ｐj） （Ｘ0，Ｘj）
慣性系Ｓ’
（Ｐ’0，Ｐ’j） （Ｘ’0，Ｘ’j）
Ｘ１方向のローレンツブースト（Ｐ’2or3＝Ｐ2or3 Ｘ’2or3＝Ｘ2or3）
Ｐ’1Ｘ’1－Ｐ’0Ｘ’0=Ｐ1Ｘ1－Ｐ0Ｘ0
Ｘ’1Ｐ’1－Ｘ’0Ｐ’0=Ｘ1Ｐ1－Ｘ0Ｐ0
∴(［Ｐ’1，Ｘ’１］±)－(［Ｐ’0，Ｘ’0］±)＝(［Ｐ1，Ｘ１］±)－(［Ｐ0，Ｘ0］±)
係数ａ～ｄを用いて
［Ｐ’1，Ｘ’１］± ＝ａ・(［Ｐ1，Ｘ１］±)＋ｂ・(［Ｐ0，Ｘ0］±)
［Ｐ’0，Ｘ’0］± ＝ｃ・(［Ｐ1，Ｘ１］±)＋ｄ・(［Ｐ0，Ｘ0］±) とおく。
(［Ｐ’1，Ｘ’１］±)－(［Ｐ’0，Ｘ’0］±)
＝（ａ－ｃ）・(［Ｐ1，Ｘ１］±) ＋（ｂ－ｄ）・(［Ｐ0，Ｘ0］±)
ａ－ｃ＝１
ｂ－ｄ＝－１
ａｄ－ｂｃ＝１
ａ＝ｄ
∴ａ＝ｄ＝１
ｂ＝ｃ＝０
Ｐ0：「定係数ａ～ｄを使って一次変換を仮定したワケね。」
Ｘ0：「ａｄ－ｂｃ＝１はどこから出るの？」
Ｐ1：「逆変換の行列式からでしょ。」
Ｘ1：「ａ＝ｄは？」
Ｐ2：「もちろん、相対性原理からよ。」
Ｘ2：「そう来たか。」
Ｐ3:「そんなことしなくても、［Ｐ’1，Ｘ’1］±が－ｉなんだから、ローレンツ不変に決まってるじゃん。」
Ｘ3：「それをいっちゃ～おしまいよ！」
計量テンソル
［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ
［Ｐj，Ｘk］＝ｉ・δjk ：クロネコ、もといクロネッカーデルタ記号 j，k＝１－３
Ｐ0とＰjが無関係の場合
［Ｐ0、Ｘj］＝［Ｐj，Ｘ0］＝０
［Ｐμ，Ｘν］＝ｉ・ημν ：ミンコフスキー計量テンソル
一般座標変換すると、
［Ｐ’ μ，Ｘ’ ν］＝ｉ・ｇμν ：計量テンソル
ｃｆ）
ｇμ’ν’・ｄＸ’μ’・ｄＸ’ν’ ＝ημν・ｄＸμ・ｄＸν
シュワルツシルト球対称外部解
(ｄｓ)^2＝ｇ00・（ｄＸ0）^2＋ｇ11・（ｄｒ）^2 ：線素長
ｇ00＝Ｎ
ｇ11＝－１／Ｎ
Ｎ＝（１－Ｒ／ｒ） ：ｒ 動径
Ｒ＝２・Ｇ・Ｍ／ｃ^2 ：シュワルツシルト半径 Ｇ：万有引力定数 Ｍ：質量
［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ・ｇ00＝ｉ／Ｎ
［Ｐr，ｒ］＝ｉ・ｇ11＝－ⅰ・Ｎ
Ｐr＝－ｉ・∂／∂ｒ （ ’ を省略）
ｒ：「僕がＲに等しいと、Ｎ＝０になる。」
Ｐr：「ｒと交換日記でも始めようかな。」
Ｐ0：「わたしはどうなるのよ！」
Ｒ：「危ないから、事象の地平面には近づかないでね。」
Ｘ0：「彼から離れていれば安全さ。」
ｇ：「どういうこと？」
η：「君がしゃしゃりでない方がいいってことよ。」
ディラック方程式
記号
μ＝０、１－４
ｊ、ｋ＝１－４
ｉ：虚数単位
σμ：パウリ行列 μ＝０、１－３
ｍ：質量
ｃ：光速
ｈ（＝２π）：プランク定数
＠：直積
Ｘμ：四元位置ベクター Ｘ０＝ｃ・ｔ
Ｐμ：四元運動量ベクター Ｐ４＝m・ｃ
Φn：n元スピナー
Φ4￥＝（Φ0 Φ1 Φ2 Φ3） ￥：転置記号
∂μ≡∂／∂Ｘμ
｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ：反交換関係
ρ0
＝σ0@σ0
＝（σ0 ０
０ σ0）
ρj ｊ＝１－３
＝σ1@σj
＝（０ σj
σj ０）
ρ４
＝σ３@σ0
＝（σ0 ０
０ －σ0）
｛ρj，ρk｝＝０ （ｊ≠ｋ）
｛ρ0，ρk｝＝２ρ0
ρjρj ＝（ρj）2＝ρ0
±ρ0Ｐ０Φ4＝ρｊＰｊΦ4
Ｐ０Φｋ＝ｉ∂０Φｋ ｋ＝０、１－３
ＰｊΦｋ＝－ｉρｊ∂ｊΦｋ ｊ＝１－３
Ｐ４Φｋ＝（ｍ・ｃ）Φｋ
±ｉρ0∂0Φ4＝－ｉρｊ∂ｊΦ4＋ρ４Ｐ４Φ4
Ｘ：「ディラック氏は、
（ρ0Ｐ０）2－（ρｋＰｋ）2
＝（ρ0Ｐ０－ρｋＰｋ）・（ρ0Ｐ０＋ρｋＰｋ）
という因数分解を思いついたんだ。」
Ｐ：「空中分解よりも凄い！」
σ：「ところで、直積＠って何？」
ρ：「σｊ@σkは、σｊの中で１の場所にσkを入れ込んだものだよ。
パウリ行列は２行２列だから、４行４列に拡張されるのさ。」
＠：「σ２@σ１は、σ２の中で－ｉ、ｉを、－ｉσ１、ｉσ１に置き換えればいい。」
∂：「ベクターとスピナーは？」
σ：「例えば３成分のベクターは、仲良しダンゴ３兄弟ってこと。
スピナーはふつう２成分だから、婚姻関係みたいなものさ。」
Φ：「おかげで、ぼくは４成分になった。」
ｈ：「粒子の夫婦Φa と、反粒子の夫婦Φb。」
Φ4￥＝（Φa Φb）
Φa￥＝（Φ0 Φ1）
Φb￥＝（Φ2 Φ3）
±σ0Ｐ０Φa＝σ0Ｐ4Φa ＋ σｊＰｊΦb
±σ0Ｐ０Φb＝σｊＰｊΦa － σ0Ｐ4Φb
σ0（Ｐ０－ｍ・ｃ）Φa＝σｊＰｊΦb
σ0（Ｐ０＋ｍ・ｃ）Φb＝σｊＰｊΦa
5 / 12
