［Ｐjσj，Ｘkσk］の計算

［Ｐ1σ1，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ1，Ｘ1］σ1^2

+Ｐ1Ｘ2［σ1，σ2］+Ｐ1Ｘ3［σ1，σ3］

＝－ⅰσ0＋２ⅰＰ1Ｘ2σ3－２ｉＰ1Ｘ3σ2

［Ｐ2σ2，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ2，Ｘ2］σ2^2

+Ｐ2Ｘ1［σ2，σ1］+Ｐ2Ｘ3［σ2，σ3］

＝－ⅰσ0－２ⅰＰ2Ｘ1σ3＋２ｉＰ2Ｘ3σ1

［Ｐ3σ3，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ3，Ｘ3］σ3^2

+Ｐ3Ｘ1［σ3，σ1］+Ｐ3Ｘ2［σ3，σ2］

＝－ⅰσ0＋２ⅰＰ3Ｘ1σ2－２ｉＰ3Ｘ2σ1

∴［Ｐjσj，Ｘkσk］

　＝－３ｉσ0

＋２ｉ（Ｐ2Ｘ3－Ｐ3Ｘ2）σ1

＋２ｉ（Ｐ3Ｘ1－Ｐ1Ｘ3）σ2

＋２ⅰ（Ｐ1Ｘ2－Ｐ2Ｘ1）σ3

Ｐ2Ｘ3－Ｐ3Ｘ2＝－Ｌ23＝－Ｋ1

Ｐ3Ｘ1－Ｐ1Ｘ3＝－Ｌ31＝－Ｋ2

Ｐ1Ｘ2－Ｐ2Ｘ1＝－Ｌ12＝－Ｋ3

［Ｐjσj／２，Ｘkσk／２］

　＝－（３／４）ｉσ0

－ｉ（Ｋ1σ1／２＋Ｋ2σ2／２＋Ｋ3σ3／２）

＝－ⅰ（σ1／２）・（Ｋ1＋（１／２）σ1）

　－ⅰ（σ2／２）・（Ｋ2＋（１／２）σ2）

　－ⅰ（σ3／２）・（Ｋ3＋（１／２）σ3）

Ｓj＝σj／２より

［ＰjＳj，ＸkＳk］

＝－ｉＳj・（Ｋj＋Ｓj）

ｃｆ）

　Ｐ0＝Ｐjσj

ⅰ・（ｄＫ1／ｄｘ0）＝［Ｋ1，Ｐ0］

＝［Ｘ2Ｐ3－Ｘ3Ｐ2，Ｐjσj］

=［Ｘ2，Ｐ2］Ｐ3σ2

－［Ｘ3，Ｐ3］Ｐ2σ3

＝ⅰ（Ｐ3σ2－Ｐ2σ3）

ⅰ・（ｄＳ1／ｄｘ0）＝［Ｓ1，Ｐ0］

＝（１／２）［σ1，Ｐjσj］

=（１／２）・（Ｐ2［σ1，σ2］＋Ｐ3［σ1，σ3］）

＝ⅰ（Ｐ2σ3－Ｐ3σ2）

∴　ⅰ・（ｄ（Ｋ1＋Ｓ1）／ｄｘ0）＝０

Ｋ：「君が加わるのはσのせいだ。」

Ｓ：「つまり、僕を加えないと君も半人前ってこと。」

σ：「Ｓ君が出てくる理由は、Ｐ君とＸ君の仲が悪いからでしょ。」

Ｐ：「Ｘとの交換関係は、僕だけのせいじゃないさ。」

Ｘ：「君とはいまでも絶交中だよ。」

Ｓ系

［Ｐ1，Ｘ1］＝－ｉ

［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ

Ｓ’系

Ａ＝［Ｐ’1，Ｘ’1］

Ｂ＝［Ｐ’0，Ｘ’0］

Ｃ＝［Ｐ’1，Ｘ’0］

Ｄ＝［Ｐ’0，Ｘ’1］

Ｅ＝（Ｃ＋Ｄ）・sinh（２θ）／２

［Ｐ1，Ｘ1］

＝［Ｐ’1・coshθ＋Ｐ’0・sinhθ，Ｘ’1・coshθ＋Ｘ’0・sinhθ］

＝Ａ・（coshθ）^2＋Ｂ・（sinhθ）^2＋Ｅ

＝－ｉ

［Ｐ0，Ｘ0］

＝［Ｐ’0・coshθ＋Ｐ’1・sinhθ，Ｘ’0・coshθ＋Ｘ’1・sinhθ］

＝Ｂ・（coshθ）^2＋Ａ・（sinhθ）^2＋Ｅ

＝ｉ

（coshθ）^2・Ａ＋（sinhθ）^2・Ｂ＝－ｉ－Ｅ

（sinhθ）^2・Ａ＋（coshθ）^2・Ｂ＝ｉ－Ｅ

Ｔ（θ）

＝（　（coshθ）^2　　（sinhθ）^2

　　　（sinhθ）^2　　　（coshθ）^2　）

ｄｅｔＴ（θ）＝（coshθ）^4－（sinhθ）^4＝cosh（２θ）

逆行列Ｔinv（θ）

＝（１／ｄｅｔＴ（θ））

×（　（coshθ）^2　　－（sinhθ）^2

　　－（sinhθ）^2　　　（coshθ）^2　）

（Ａ

　Ｂ）

＝Ｔinv（θ）

×（－ｉ－Ｅ

　　　ｉ－Ｅ）

∴Ａ＝－ｉ－Ｅ／（cosh（２θ））

　Ｂ＝ｉ－Ｅ／（cosh（２θ））

　Ｅ／（cosh（２θ））＝（１／２）・（Ｃ＋Ｄ）・tanh（２θ）

　β＝tanhθ＝－ｄＸ1／ｄＸ0＝－（ｄＸ1／ｄｔ）／（ｄＸ0／ｄｔ）=－Ｖ1／ｃ

　tanh   （２θ）＝２・tanhθ／（１＋（tanhθ）^2）＝２・β／（１＋β-2）

　相対性原理により、Ｅ＝０　つまりＣ＋Ｄ＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ＋Ｂ＝０

Ｅ：「いきなり相対性原理だと！」

θ：「そういうこと、この世界の掟だから。」

Ｅ：「いったい、どうなるんだ？」

Ａ：「君の出る幕はもうないってこと。」

Ｘ’1：「ぼくはノンビリしていいの？」

Ｄ：「わたしがゼロならね。」

Ｂ：「見方によっては案外、光速で駆けずり回らないといけないかもね。」

記号

　［Ａ，Ｂ］±＝ＡＢ±ＢＡ

慣性系Ｓ

　　（Ｐ0，Ｐj）　（Ｘ0，Ｘj）

慣性系Ｓ’

　　（Ｐ’0，Ｐ’j）　（Ｘ’0，Ｘ’j）

Ｘ１方向のローレンツブースト（Ｐ’2or3＝Ｐ2or3　Ｘ’2or3＝Ｘ2or3）

　Ｐ’1Ｘ’1－Ｐ’0Ｘ’0=Ｐ1Ｘ1－Ｐ0Ｘ0

　Ｘ’1Ｐ’1－Ｘ’0Ｐ’0=Ｘ1Ｐ1－Ｘ0Ｐ0

　∴(［Ｐ’1，Ｘ’１］±)－(［Ｐ’0，Ｘ’0］±)＝(［Ｐ1，Ｘ１］±)－(［Ｐ0，Ｘ0］±)

係数ａ～ｄを用いて

［Ｐ’1，Ｘ’１］± ＝ａ・(［Ｐ1，Ｘ１］±)＋ｂ・(［Ｐ0，Ｘ0］±)

［Ｐ’0，Ｘ’0］± ＝ｃ・(［Ｐ1，Ｘ１］±)＋ｄ・(［Ｐ0，Ｘ0］±)　とおく。

(［Ｐ’1，Ｘ’１］±)－(［Ｐ’0，Ｘ’0］±)

　＝（ａ－ｃ）・(［Ｐ1，Ｘ１］±) ＋（ｂ－ｄ）・(［Ｐ0，Ｘ0］±)

　ａ－ｃ＝１

　ｂ－ｄ＝－１

　ａｄ－ｂｃ＝１

　ａ＝ｄ

∴ａ＝ｄ＝１

　ｂ＝ｃ＝０

Ｐ0：「定係数ａ～ｄを使って一次変換を仮定したワケね。」

Ｘ0：「ａｄ－ｂｃ＝１はどこから出るの？」

Ｐ1：「逆変換の行列式からでしょ。」

Ｘ1：「ａ＝ｄは？」

Ｐ2：「もちろん、相対性原理からよ。」

Ｘ2：「そう来たか。」

Ｐ3:「そんなことしなくても、［Ｐ’1，Ｘ’1］±が－ｉなんだから、ローレンツ不変に決まってるじゃん。」

Ｘ3：「それをいっちゃ～おしまいよ！」

［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ

［Ｐj，Ｘk］＝ｉ・δjk　：クロネコ、もといクロネッカーデルタ記号 　j，k＝１－３

Ｐ0とＰjが無関係の場合

［Ｐ0、Ｘj］＝［Ｐj，Ｘ0］＝０

［Ｐμ，Ｘν］＝ｉ・ημν　：ミンコフスキー計量テンソル

一般座標変換すると、

［Ｐ’ μ，Ｘ’ ν］＝ｉ・ｇμν　　：計量テンソル

　ｃｆ）

　ｇμ’ν’・ｄＸ’μ’・ｄＸ’ν’　＝ημν・ｄＸμ・ｄＸν

　シュワルツシルト球対称外部解

　(ｄｓ)^2＝ｇ00・（ｄＸ0）^2＋ｇ11・（ｄｒ）^2　　：線素長

　ｇ00＝Ｎ

　ｇ11＝－１／Ｎ

　Ｎ＝（１－Ｒ／ｒ）　　：ｒ　動径

　Ｒ＝２・Ｇ・Ｍ／ｃ^2　：シュワルツシルト半径　　Ｇ：万有引力定数　Ｍ：質量

［Ｐ0，Ｘ0］＝ｉ・ｇ00＝ｉ／Ｎ

［Ｐr，ｒ］＝ｉ・ｇ11＝－ⅰ・Ｎ

Ｐr＝－ｉ・∂／∂ｒ　　（ ’ を省略）

ｒ：「僕がＲに等しいと、Ｎ＝０になる。」

Ｐr：「ｒと交換日記でも始めようかな。」

Ｐ0：「わたしはどうなるのよ！」

Ｒ：「危ないから、事象の地平面には近づかないでね。」

Ｘ0：「彼から離れていれば安全さ。」

ｇ：「どういうこと？」

η：「君がしゃしゃりでない方がいいってことよ。」