誘電率ε:M’-1L’-3T’2C’2
電荷密度ρ:L’-3C
電流密度j:L’-2T’-1C
電界E:MLT’-2C’-1
電場D:L’-2C
電位:ML’2T’-2C’-1
透磁率μ:MLC’-2
磁界H:L’-1T’-1C
磁場B:MT’-1C’-1
スカラーポテンシャルφ:ML’2T’-2C’-1
ベクトルポテンシャルA:MLT’-1C’-1
電磁テンソル:MT’-1C’-1
磁気モーメント:L’2T’-1C
電気モーメント:LC
電流、磁化:T’-1C
抵抗:MLT’-1C’-2
静電容量:M’-1L’-2T’2C’2
インダクタンス:MC’-2
マックスウェル方程式
div(L’-1)E(MLT’-2C’-1)=ρ(L’-3C)/ε(M’-1L’-3T’2C’2)=MT’-2C’-1
curl(L’-1)E(MLT’-2C’-1)=B(MT’-1C’-1)/T=MT’-2C’-1
div(L’-1)B(MT’-1C’-1) =ML’-1T’-1C’-1
curl(L’-1)H(L’-1T’-1C)=D(L’-2C)/T=L’-2T’-1C
E(MLT’-2C’-1)=∇(L’-1)φ(ML’2T’-2C’-1)=∂t(T’-1) A(MLT’-1C’-1)
B(MT’-1C’-1)=∇(L’-1)×A(MLT’-1C’-1)
電荷の保存
div(L’-1)j(L’-2T’-1C)=ρ(L’-3C)/T=L’-3T’-1C
ローレンツ条件
div(L’-1) A(MLT’-1C’-1)=∂t(T’-1)φ(ML’2T’-2C’-1)/(L’2T’-2)=MT’-1C’-1
ローレンツ力
f(MLT’-2)=C・E(MLT’-2C’-1)=C・LT’-1・B(MT’-1C’-1)
ゲージ変換
A→ A(MLT’-1C’-1)-∇(L’-1)η(ML’2T’-1C’-1)
φ→ φ(ML’2T’-2C’-1)+∂t(T’-1)η(ML’2T’-1C’-1)
電磁波の波動方程式
□(L’-2)φ(ML’2T’-2C’-1)=ρ(L’-3C)/ε(M’-1L’-3T’2C’2)=MT’-2C’-1
□(L’-2)A(MLT’-1C’-1)=j(L’-2T’-1C)・μ(MLC’-2)=ML’-1T’-1C’-1
比速度β=v/c:無次元
ローレンツ因子γ=√(1-β^2):無次元
固有時間τ:T/γ
4元位置ベクトル(x0,xj):L
x0=LT’-1・T
4元速度ベクトル(dx0/dτ,dxj/dτ):LT’-1
4元運動量ベクトル(p0,pj):M LT’-1
p0=ML’2T’-2/LT’-1
4元力(f0,fj):MLT’-2
f0=dp0/dτ:MLT’-1/T
4元ベクトルポテンシャル:(A0,Aj):MLT’-1C’-1
A0=φ(ML’2T’-2C’-1)/c(LT’-1)
エネルギー(ML’2T’-2)
=(MLT’-1・MLT’-1・L’2T’-2)’(1/2)
=M・(LT’-1)’2
エネルギー(ML’2T’-2)・v(LT’-1)
=p(MLT’-1)・(LT’-1)’2
位相
(pj(MLT’-1)・xj(L)-p0(MLT’-1)・x0(L))/ML’2T’-1
プランク定数h:ML’2T’-1 hbar=h/2π
作用S:ML’2T’-1
ラグランジアンLn、ハミルトニアンHn:ML’2T’-2
波動関数Ψ:無次元
ν:振動数 λ:波長
λ(L)・ν(T’-1)=速さ(LT’-1)
アインシュタイン-ドブロイ関係式
h(ML’2T’-1)・ν(T’-1)=ML2T’-2
h(ML’2T’-1)/λ(L)=MLT’-1
交換関係
[p(MLT’-1),x(L)]=ML’2T’-1
[p0(MLT’-1),x0(L)]=ML’2T’-1
p0:ML2T’-2/(LT’-1) x0:T・LT’-1
シュレーディンガー方程式
ⅰ・hbar(ML’2T’-1)・∂t(T’-1) Ψ=Hn(ML’2T’-2)・Ψ
-ⅰ・hbar(ML’2T’-1)・∇(L’-1)Ψ =p(MLT’-1)・Ψ
ハイゼンベルク運動方程式
ⅰ・hbar(ML’2T’-1)・v(L/T)=L・ML’2T’-2=ML’3T’-2
ⅰ・hbar(ML’2T’-1)・p(MLT’-1/T)=MLT’-1・ML’2T’-2=M’2L’3T’-3
クライン-ゴルドン方程式
(□(L’-2)+(MLT’-1)’2/(ML’2T’-1)’2)Ψ=0
ディラック方程式
(ⅰ・hbar(ML’2T’-1)・(α0・∂0(L’-1)+αj・∂j(L’-1))+αm・mc(MLT-1))Ψ=0
磁場による位相変化=(C/ML’2T’-1)・A(MLT’-1C’-1)・L
電場による位相変化=(C/ML’2T’-1)・φ(ML’2T’-2C’-1)・T
・光速c:=1
速度:LT’-1より L=T
・プランク定数h/2π:=1
角運動量:ML’2T’-1=MLより L=M’-1
・任意の物理量A:M’αL’βT’γ=M’α-β-γ :質量次元
Ex)力学
速さv :無次元
加速度a:LT’-2=L’-1=M
角速度:T’-1=M
角加速度:T’-2=M’2
運動量p:MLT’-1=M
角運動量l:無次元
力f :MLT’-2=M’2
エネルギー:ML’2T’-2=M
慣性モーメント:ML’2=M’-1
力のモーメント:ML’2T’-2=M
・場の量子論(以下、Mを省略)
D次元時空の場合
作用積分S:無次元
ラグランジアン密度Ld:’4 D
実スカラー場φ :’1 (D-2)/2
∂μφ ,∂μφ :’2 D/2
S(’0)=∫Ld (’4)d4x(’-4)
Ld(’4)
=(1/2)(∂μφ(’2)∂μφ (’2))-(1/2)(m(’1))2(φ(’1))2 -(1/4!)(λm(’0))(φ(’1))4
パラメータの質量次元 ≧0 :くり込み可能性
m2 :’2
λ :’0 無次元