・基本単位
質量M: キログラム
長さL: メートル
時間T: 秒
電荷C: クーロン
・記号
Z’n=Z^n
Z’-n=(1/Z)^n
j=1~3
∇:L’-1
∂t=∂/∂t:T’-1
∂μ=(∂0,∇):L’-1
∂0=∂/∂(ct)
ⅰ:虚数単位 √(-1):無次元
□=(∂0)^2-∇^2:L’-2
速さv :LT’-1
加速度a:LT’-2
角速度:T’-1
角加速度:T’-2
運動量p:MLT’-1
角運動量l:ML’2T’-1
力f :MLT’-2
エネルギー:ML’2T’-2
慣性モーメント:ML’2
力のモーメント:ML’2T’-2
ラグランジアンLn、ハミルトニアンHn:ML’2T’-2
運動方程式
f(MLT’-2)=p(MLT’-1)/T=M・LT’-2
L・f(MLT’-2)=ML’2・T’-2
万有引力(定数G)
f(MLT’-2)=G(M’-1L’3T’-2)・M’2/L’2
オイラー-ラグランジュ方程式
p(MLT’-1)=∂Ln(ML’2T’-2)/∂v(LT’-1)
p(MLT’-1)/T=∂Ln(ML’2T’-2)/∂x(L)=MLT’-2
ハミルトンの運動方程式
Hn(ML’2T’-2)=p(MLT’-1)・v(LT’-1)-Ln(ML’2T’-2)
dv(LT’-1)/dt(T)=∂Hn(ML’2T’-2)/∂p(MLT’-1)
dp(MLT’-1)/dt(T)=-∂Hn(ML’2T’-2)/∂x(L)
誘電率ε:M’-1L’-3T’2C’2
電荷密度ρ:L’-3C
電流密度j:L’-2T’-1C
電界E:MLT’-2C’-1
電場D:L’-2C
電位:ML’2T’-2C’-1
透磁率μ:MLC’-2
磁界H:L’-1T’-1C
磁場B:MT’-1C’-1
スカラーポテンシャルφ:ML’2T’-2C’-1
ベクトルポテンシャルA:MLT’-1C’-1
電磁テンソル:MT’-1C’-1
磁気モーメント:L’2T’-1C
電気モーメント:LC
電流、磁化:T’-1C
抵抗:MLT’-1C’-2
静電容量:M’-1L’-2T’2C’2
インダクタンス:MC’-2
マックスウェル方程式
div(L’-1)E(MLT’-2C’-1)=ρ(L’-3C)/ε(M’-1L’-3T’2C’2)=MT’-2C’-1
curl(L’-1)E(MLT’-2C’-1)=B(MT’-1C’-1)/T=MT’-2C’-1
div(L’-1)B(MT’-1C’-1) =ML’-1T’-1C’-1
curl(L’-1)H(L’-1T’-1C)=D(L’-2C)/T=L’-2T’-1C
E(MLT’-2C’-1)=∇(L’-1)φ(ML’2T’-2C’-1)=∂t(T’-1) A(MLT’-1C’-1)
B(MT’-1C’-1)=∇(L’-1)×A(MLT’-1C’-1)
電荷の保存
div(L’-1)j(L’-2T’-1C)=ρ(L’-3C)/T=L’-3T’-1C
ローレンツ条件
div(L’-1) A(MLT’-1C’-1)=∂t(T’-1)φ(ML’2T’-2C’-1)/(L’2T’-2)=MT’-1C’-1
ローレンツ力
f(MLT’-2)=C・E(MLT’-2C’-1)=C・LT’-1・B(MT’-1C’-1)
ゲージ変換
A→ A(MLT’-1C’-1)-∇(L’-1)η(ML’2T’-1C’-1)
φ→ φ(ML’2T’-2C’-1)+∂t(T’-1)η(ML’2T’-1C’-1)
電磁波の波動方程式
□(L’-2)φ(ML’2T’-2C’-1)=ρ(L’-3C)/ε(M’-1L’-3T’2C’2)=MT’-2C’-1
□(L’-2)A(MLT’-1C’-1)=j(L’-2T’-1C)・μ(MLC’-2)=ML’-1T’-1C’-1
比速度β=v/c:無次元
ローレンツ因子γ=√(1-β^2):無次元
固有時間τ:T/γ
4元位置ベクトル(x0,xj):L
x0=LT’-1・T
4元速度ベクトル(dx0/dτ,dxj/dτ):LT’-1
4元運動量ベクトル(p0,pj):M LT’-1
p0=ML’2T’-2/LT’-1
4元力(f0,fj):MLT’-2
f0=dp0/dτ:MLT’-1/T
4元ベクトルポテンシャル:(A0,Aj):MLT’-1C’-1
A0=φ(ML’2T’-2C’-1)/c(LT’-1)
エネルギー(ML’2T’-2)
=(MLT’-1・MLT’-1・L’2T’-2)’(1/2)
=M・(LT’-1)’2
エネルギー(ML’2T’-2)・v(LT’-1)
=p(MLT’-1)・(LT’-1)’2
位相
(pj(MLT’-1)・xj(L)-p0(MLT’-1)・x0(L))/ML’2T’-1