・記号

　ｃ：光速

　ｍ：慣性質量

　ｔ：時間

　τ：固有時間（ｄτ＝ｄｔ／γ）

　π：円周率

　ⅰ：虚数単位　√（－１）

　μ＝０，１～３

　ｊ＝１～３

　Ｘμ：４元位置ベクトル

　Ｕμ：４元速度ベクトル

　Ｖｊ：３元速度ベクトル

　Ｐμ：４元位置ベクトル

　φ（Ｘμ）：スカラー汎関数（演算子）

　φν（Ｘμ）：ベクター汎関数（演算子）

　Ｈ：ハミルトン演算子

　exp()：指数関数

　双曲線関数

　cosh(θ)＝(expθ＋exp（－θ）)／２

　sinh(θ)＝(expθ－exp（－θ）)／２

　tanh(θ)＝sinh(θ)／cosh(θ)

　Ａ^２＝Ａ・Ａ

　［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ

　｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ

　Ｓ，Ｓ’　：慣性系

　Ｖ：相対速度

　tanhθ＝β＝Ｖ／ｃ

　γ＝１／√（１－β^2）

　σμ：パウリ行列

・単位系

　プランク定数ｈ＝１／２π

愛子：「これだけ？まったく不親切だわ。」

孫子：「余計なことが書いてないないから、シンプルでいいよ。」

光子：「これから何が始まるの？」

老子：「量子って誰の名前？」

草子：「ネコの名前にして変な感じ。」

良子：「私は「りょうこ」じゃなくて、よしこよ。」

　交換関係　［Ｘｊ，Ｐｊ］＝ⅰ

　Ｐｊ＝ｍＵｊ＝ｍ・γ・Ｖｊ＝Ｐ0・Ｖ／ｃ

　Ｐ0＝ｍ・γ・ｃ

　β＝Ｖｊ／ｃ

　ⅰ・Ｖｊ／ｃ＝［Ｖｊ，Ｐ0］　：ハイゼンベルク方程式

から、

　［Ｘｊ，Ｐ0・Ｖｊ］／ｃ

＝（［Ｘｊ，Ｐ0］Ｖｊ＋Ｐ0［Ｘｊ，Ｖｊ］）／ｃ

＝（ⅰ・Ｖｊ^2／ｃ＋Ｐ0［Ｘｊ，Ｖｊ］）／ｃ

＝ⅰ

　［Ｘｊ，Ｖｊ］＝ⅰ・（ｃ－Ｖｊ^2／ｃ）／（ｍγｃ）

　　　　　　　　＝ⅰ・（（１－（Ｖｊ／ｃ）^2）^(3/2)）／ｍ

Ｘｊ：「Ｖｊ／ｃ＜＜１のとき、ⅰ／ｍになるから、Ｐｊ＝ｍ・Ｖｊの場合と同じね。」

Ｖｊ：「でも、Ｖｊ＝ｃ、またはｍ→∞で、ゼロで交換関係が消失するってこと？」

ⅰ：「Ｖｊ→０では不成立だよ。」

Ｐ0：「他に、何かご意見は？」

Let’s 計算

　ⅰ・ｄφ／ｄτ

＝ⅰ・（ｄＸ0／ｄτ）・（∂φ／∂Ｘ0）＋ⅰ・（ｄＸｊ／ｄτ）・（∂φ／∂Ｘｊ）

＝（Ｕ0Ｐ0－ＵｊＰｊ）φ

＝（（Ｐ0^2－Ｐｊ^2）／ｍ）φ

＝（ｍ・ｃ^2）φ

　φ∝exp（－ｉ（ｍ・ｃ^2）・τ）

・Ｓ系

ⅰ・ｄφ／ｄＸ0＝ⅰ・（∂φ／∂Ｘ0）＋［φ（Ｘｊ），Ｐ0］

＝（（ｍ・ｃ）^2／Ｐ0）φ

ｃｆ）

　［φ（Ｘｊ），Ｐ0］＝［φ（Ｘｊ），√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）］

＝ｉ・（Ｐｊ／Ｐ0）・（∂φ／∂Ｘｊ）

　［Ｘｊ，√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）］

　　＝ｉ・（Ｐｊ／Ｐ0）

　ⅰ・ｄφ／ｄｔ＝（（ｍ・ｃ^2）^2）／Ｈ）φ

　ⅰ・ｄφ／ｄτ＝（ｄＸ0／ｄτ）・（（ｍ・ｃ）^2／Ｐ0）φ

・Ｓ’系

　ⅰ・ｄφ’／ｄＸ’0＝ⅰ・（∂φ／∂Ｘ’0）＋［φ（Ｘ’ｊ），Ｐ’0］

 ⅰ・（∂φ’／∂Ｘ’0）

　＝（coshθ・Ｐ0－sinhθ・Ｐｊ）φ

［φ（Ｘ’ｊ），Ｐ’0］

　＝（sinhθ・Ｐｊ－coshθ・（(Ｐｊ)^2／Ｐ0)））φ

ⅰ・（∂φ’／∂Ｘ’0）＝（ｍ・ｃ）φ’

ｄＸ’0／ｄτ＝ｃ

ｍ：「アインシュタインの有名な関係式の量子バージョンだ。」

φ：「質量ｍがあるとφが時間的に変化するってことよね。」

τ：「φとＰ0の交換関係を計算するときにはＸ０を一定にしないといけない。」

ｃ：「Ｓ系でｄφ／ｄＸ0　＝０の場合、ⅰ・∂φ／∂Ｘ0＝（(Ｐｊ)^2／Ｐ0）φになる。」

Ｘｊ：「ⅰ・∂／∂Ｘ0はＰ0のことだから、(Ｐ0)^2＝(Ｐｊ)^2で、Ｐ0＝±Ｐｊだ。」

Ｐ0：「ｍはどこへいったんだ！」

ｃ：「そんなの、気にしないでよ。」

Ｕ0：「Ｐ0＝－√（Ｐｊ^2＋（ｍ・ｃ）^2）のことを忘れるでない。」

ⅰ：「この際、過去のことは置いときましょう。」

［Ｐjσj，Ｘkσk］の計算

［Ｐ1σ1，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ1，Ｘ1］σ1^2

+Ｐ1Ｘ2［σ1，σ2］+Ｐ1Ｘ3［σ1，σ3］

＝－ⅰσ0＋２ⅰＰ1Ｘ2σ3－２ｉＰ1Ｘ3σ2

［Ｐ2σ2，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ2，Ｘ2］σ2^2

+Ｐ2Ｘ1［σ2，σ1］+Ｐ2Ｘ3［σ2，σ3］

＝－ⅰσ0－２ⅰＰ2Ｘ1σ3＋２ｉＰ2Ｘ3σ1

［Ｐ3σ3，Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3］

＝［Ｐ3，Ｘ3］σ3^2

+Ｐ3Ｘ1［σ3，σ1］+Ｐ3Ｘ2［σ3，σ2］

＝－ⅰσ0＋２ⅰＰ3Ｘ1σ2－２ｉＰ3Ｘ2σ1

∴［Ｐjσj，Ｘkσk］

　＝－３ｉσ0

＋２ｉ（Ｐ2Ｘ3－Ｐ3Ｘ2）σ1

＋２ｉ（Ｐ3Ｘ1－Ｐ1Ｘ3）σ2

＋２ⅰ（Ｐ1Ｘ2－Ｐ2Ｘ1）σ3

Ｐ2Ｘ3－Ｐ3Ｘ2＝－Ｌ23＝－Ｋ1

Ｐ3Ｘ1－Ｐ1Ｘ3＝－Ｌ31＝－Ｋ2

Ｐ1Ｘ2－Ｐ2Ｘ1＝－Ｌ12＝－Ｋ3

［Ｐjσj／２，Ｘkσk／２］

　＝－（３／４）ｉσ0

－ｉ（Ｋ1σ1／２＋Ｋ2σ2／２＋Ｋ3σ3／２）

＝－ⅰ（σ1／２）・（Ｋ1＋（１／２）σ1）

　－ⅰ（σ2／２）・（Ｋ2＋（１／２）σ2）

　－ⅰ（σ3／２）・（Ｋ3＋（１／２）σ3）

Ｓj＝σj／２より

［ＰjＳj，ＸkＳk］

＝－ｉＳj・（Ｋj＋Ｓj）

ｃｆ）

　Ｐ0＝Ｐjσj

ⅰ・（ｄＫ1／ｄｘ0）＝［Ｋ1，Ｐ0］

＝［Ｘ2Ｐ3－Ｘ3Ｐ2，Ｐjσj］

=［Ｘ2，Ｐ2］Ｐ3σ2

－［Ｘ3，Ｐ3］Ｐ2σ3

＝ⅰ（Ｐ3σ2－Ｐ2σ3）

ⅰ・（ｄＳ1／ｄｘ0）＝［Ｓ1，Ｐ0］

＝（１／２）［σ1，Ｐjσj］

=（１／２）・（Ｐ2［σ1，σ2］＋Ｐ3［σ1，σ3］）

＝ⅰ（Ｐ2σ3－Ｐ3σ2）

∴　ⅰ・（ｄ（Ｋ1＋Ｓ1）／ｄｘ0）＝０

Ｋ：「君が加わるのはσのせいだ。」

Ｓ：「つまり、僕を加えないと君も半人前ってこと。」

σ：「Ｓ君が出てくる理由は、Ｐ君とＸ君の仲が悪いからでしょ。」

Ｐ：「Ｘとの交換関係は、僕だけのせいじゃないさ。」

Ｘ：「君とはいまでも絶交中だよ。」