4次元平坦時空
(1,3)擬似ユークリッド時空
記号
ημν:計量テンソル (μ,ν=0,1-3)
(J0)2=(Jk)2=J0 (k=1-3)
[J0,Jk]=0 :交換子[A,B]=AB-BA
{Jn,Jm}=2J0δnm (n,m=1-3) :反交換子{A,B}=AB+BA
n=nkJk :単位ベクトル (k=1-3)
θ:ラピディティ β=nktanhθ
dx=Jνdxν=J0dx0+Jkdxk
d-x=J0dx0-Jkdxk :Einstein縮約規則
ds2=d-xdx
=(J0dx0)2-JkJmdxkdxm
=J0(dx0)2-(1/2){Jk,Jm}dxkdxm
=J0(dx0)2-J0δkm dxkdxm
=J0(dx0)2-J0(dxk)2
=ημνdxμdxν
η00=J0
ηkm=-J0δkm (k,m=1-3)
∴ημν=diag J0 (+1,-1,-1,-1) :対角行列
S系
T=x0J0
X=xkJk (k=1-3)
S'系
T'=x'0J0
X'=x'kJk
ds2=(T')2-(X')2=(T)2-(X)2
=(T'+X')(T'-X')=(T+X)(T-X)
T'+X'=exp(nθ)(T+X)
T'-X'=(T-X)exp(-nθ) とおく
(T'+X')(T'-X')
=exp(nθ)(T+X)(T-X)exp(-nθ)
=exp(nθ)((T)2-(X)2)exp(-nθ)
=(T)2-(X)2
exp(±nθ)=J0coshθ±nsinhθ より
exp(nθ)(T+X)
=(J0coshθ+nsinhθ)(T+X)
=J0Tcoshθ+nTsinhθ+J0Xcoshθ+nXsinhθ
(T-X)exp(-nθ)
=(T-X)(J0coshθ-nsinhθ)
=TJ0coshθ-Tnsinhθ-J0Xcoshθ+Xnsinhθ
T'+X'=J0Tcoshθ+nTsinhθ+J0Xcoshθ+nXsinhθ
T'-X'=J0Tcoshθ-nTsinhθ-J0Xcoshθ+Xnsinhθ
・和から
2T'=2J0Tcoshθ+(nX+Xn)sinhθ
ここで
nX=nkxmJkJm
=(1/2){Jk,Jm}nkxm
=J0δkm nkxm
=nkxkJ0
Xn=xmnkJmJk
=(1/2){Jm,Jk}nkxm
=J0δmk nkxm
=nkxkJ0
T'=x'0J0=x0J0coshθ+nkxkJ0sinhθ
∴ x'0=coshθ(x0+nktanhθxk)
=coshθ(x0+βkxk)
≒x0+βkxk(=|β||x|) :θ≒0で coshθ≒1
・差から
2X'=2nTsinhθ+2J0Xcoshθ
X'=x'kJk=nkx0JkJ0sinhθ+xkJ0Jkcoshθ
∴ x'k=xkcoshθ+nkx0sinhθ
=coshθ(xk+nkx0tanhθ)
=coshθ(xk+βkx0)
≒xk+βkx0 :θ≒0で coshθ≒1