天中察

どこかの博士が愛したオイラー氏の式

 

 注意:博士がオイラー氏を愛した訳ではありせん。


 X=x00+x11

   0=1 x1=φ とすると

 Z=exp(X)=cosφI0sinφI1

 Z=Xexp(X)

 =φ1cosφI0sinφI1

 =-(φsinφ)I0+(φcosφ)I1

 

 時間微分に関するニュートン氏のドット記法では、記号の上に「・」を付記しますが、面倒なので右上に付けます。

 X2

=(X,X)+{x0,k}I+[xj,k]Ijk

=((x02-(xj2)I+2・x0kk


 X=xj   :j=1~3    0=0

 exp(X)のマクローリン展開式

 =ΣXn/n!

 =ΣX2k/(2k)!+ΣX2k1/(2k+1)!

|X|2=ρ2=xjj

  

  2 =xjj(I2    ∵ (xjk-xkj)Ik0

     =-xjj

       =-ρ20

(X2k=(-1)kρ2k0

  X2k+1=(-1)kρ2k

 ΣX2k/(2k)!

 =Σ(-1)kρ2k/(2k)!I0

 =Icosρ

 ΣX2k1/(2k+1)!

 =Σ(-1)kρ2k1X/ρ

 =(X/ρ)sinρ 


 ∴ exp(X)=Icosρ+(X/ρ)sinρ  

頭を丸くして考える球座標


 ただし、 頭を丸めても理解できるとは限りません。


 ρ=√(xjj)=π/2 とします。 π:円周率

 x1=ρcosθ

 x2=ρsinθcosφ

 3=ρsinθsinφ

 exp(X)=Icos(π/2)+(2X/π)sin(π/2)  

          =(2X/π)

 Z=r・(2X/π)=rexp(X)    r:動径

 z1=rcosθ

 z2=rsinθcosφ

 3=rsinθsinφ

 

 Z=zjj

数多くの人々が苦労した運動方程式


 ラグランジアンL=(1/2)m(xj2-U m:物体1の質量 U:ポテンシャルエナジー

 ハミルトニアンH=pjj-L


  正準運動量 pj=∂H/∂xj

 

   xj=∂H/∂pj

   j=-∂H/∂xj


 A=(∂A/∂pj)pj+(∂A/∂xj)xj

    =(∂A/∂pj)(-∂H/∂xj)+(∂A/∂xj)(∂H/∂pj

   =[A,H]PB          :ポアッソンブラケット

       

 H=[H,H]PB =0  :エナジーの保存

j=[pj,H]PB  

j=[xj,H]PB 

  

U=-m(GM/r)

 =-mk/r   

G:万有引力定数  M:物体2の質量  r:物体1と2の距離

   k=GM

   pj=[pjU

       =-∂j(-mk/r)   :∂j=∂/∂xj

    =-(mk/r2)(xj/r)

    =- mkxj/r3


  jm・・j 

  ・・j =-kxj/r3       :慣性質量 ∝ 重力質量

たぶん誰かが愛したであろうケプラー氏の発見


 第1則

  惑星の軌道は太陽の位置を焦点とする楕円である。

  

  一般化すると、軌道は焦点を基準とする円錐曲線であり、周期運動の場合に楕円になります。

 

 第2則

惑星の面積速度(単位時間に惑星が移動する面積)は一定である。


惑星の角運動量が一定であることと等価です(角運動量の保存則)。

 

 第3則

  各惑星の軌道半径(長径)の3乗と公転周期Tの2乗との比(3/T2)は一定である。

   

    2つの物体の間に働く万有引力が両者間の距離の2乗に反比例することから、ニュートン氏によって解明されました。

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