交換関係
[Ij,Ik] j,k,l=1~3
=IjIk-IkIj
=(-δjkI0+ εjklIl)-(-δkjI0 +εkjlIl)
=2・εjklIl
[I0,Iμ] μ=0~3
=0
反交換関係
{Ij,Ik} j,k,l=1~3
=IjIk+IkIj
=(-δjkI0+εjklIl)+(-δkjI0+εkjlIl)
=-2・δjkI0 +εjklIl-εjklIl
=-2・δjkI0
{I0,Iμ} μ=0~3
=2・Iμ
パウリ行列σμとの関係
σ0σμ=σμ σ0:単位行列
σjσk =δjkσ0+i・εjklσl
[σj,σk]= 2i・εjklσl
{σj,σk}= 2・δjkσ0
I0=σ0
Ij=-i・σj
[Ij,Ik]= (-i)2[σj,σk]= 2・εjkl (-i・σl)= 2・εjklIl
{Ij,Ik}= (-i)2{σj,σk}= -2・δjkσ0=-2・δjkI0
[I0,Ik]= (-i)[σ0,σk]=0
{I0,Ik}= (-1)・(-i){σ0,σk}=-2(-i・σk)=-2Ik
注意:博士がオイラー氏を愛した訳ではありせん。
X=x0I0+x1I1
x0=1 x1=φ とすると
Z=exp(X)=cosφI0+sinφI1
Z・=X・exp(X)
=φ・I1(cosφI0+sinφI1)
=-(φ・sinφ)I0+(φ・cosφ)I1
時間微分に関するニュートン氏のドット記法では、記号の上に「・」を付記しますが、面倒なので右上に付けます。
X2
=(X,X)+{x0,xk}Ik +[xj,xk]IjIk
=((x0)2-(xj)2)I0 +2・x0xkIk
X=xjIj :j=1~3 x0=0
exp(X)のマクローリン展開式
=ΣXn/n!
=ΣX2k/(2k)!+ΣX2k+1/(2k+1)!
|X|2=ρ2=xjxj
X2 =xjxj(Ij )2 ∵ (xjxk-xkxj)Ij Ik=0
=-xjxjI0
=-ρ2I0
(X2)k=(-1)kρ2kI0
X2k+1=(-1)kρ2kX
ΣX2k/(2k)!
=Σ(-1)kρ2k/(2k)!I0
=I0 cosρ
ΣX2k+1/(2k+1)!
=Σ(-1)kρ2k+1X/ρ
=(X/ρ)sinρ
∴ exp(X)=I0 cosρ+(X/ρ)sinρ
ただし、 頭を丸めても理解できるとは限りません。
ρ=√(xjxj)=π/2 とします。 π:円周率
x1=ρcosθ
x2=ρsinθcosφ
x3=ρsinθsinφ
exp(X)=I0 cos(π/2)+(2X/π)sin(π/2)
=(2X/π)
Z=r・(2X/π)=rexp(X) r:動径
z1=rcosθ
z2=rsinθcosφ
z3=rsinθsinφ
Z=zjIj
ラグランジアンL=(1/2)m(x・j)2-U m:物体1の質量 U:ポテンシャルエナジー
ハミルトニアンH=pjx・j-L
正準運動量 pj=∂H/∂x・j
x・j=∂H/∂pj
p・j=-∂H/∂xj
A・=(∂A/∂pj)p・j+(∂A/∂xj)x・j
=(∂A/∂pj)(-∂H/∂xj)+(∂A/∂xj)(∂H/∂pj)
=[A,H]PB :ポアッソンブラケット
H・=[H,H]PB =0 :エナジーの保存
p・j=[p・j,H]PB
x・j=[x・j,H]PB
U=-m(GM/r)
=-mk/r
G:万有引力定数 M:物体2の質量 r:物体1と2の距離
k=GM
p・j=[p・j,U]
=-∂j(-mk/r) :∂j=∂/∂xj
=-(mk/r2)(xj/r)
=- mkxj/r3
p・j=mx・・j
x・・j =-kxj/r3 :慣性質量 ∝ 重力質量