天中察

天啓


複素数x+yiの拡張

 i:虚数単位 i2=-1


ハミルトン氏の四元数 Iμ  :μ=0~3

(0)2=I0

()2=-I0  :j=1~3

=-δjk0 +εjkl l 

    : δjk  デルタ記号 j=kのとき1、そうでないとき0

  :εjkl  完全反対称テンソルε123+1 ε132-1 etc

 Ex)

     I12= ε1233=I3    123=-I0

        13= ε1322=-I2


逸話

 1843年10月16日にハミルトン氏は、発見の興奮を抑えきれず橋の欄干に

i2=j2=k2=ijk=-1を刻み付けたらしい。

(蛇足:1=i  2=j  3=k  0=1 

      器物損壊罪となるので、良い子は真似しないようにしましょう。)

例えば


アインシュタイン氏の規約 

 ΣAμμ 

 を単にAμμと表記します(同じ記号があれば、総和をとる)。


四元数の乗算

 X=xμμ

 P=pμμ :μ=0~3

  J,k,l=1~3

 XP=(x00+x11+x22+x33)(p00+p11+p22+p33

   =(x00-xjj)I0 +(x0j+xj0)Ij +(xjk-xkj)Ij k


右辺第1項(スカラー積:内積)

 (X,P)= xμμ(Iμ2

          =(x00-xjj)I0 

右辺第3項(ベクトル積:外積) 

  (xjk-xkj)Ij      

    =Ljkεjkl l :xを位置、pを運動量としてLは角運動量となります。

各種関係(ただし、三角関係を除く)


交換関係

[Ij,k   j,k,l=13

jk-Ikj

=(-δjk0+ εjkl)-(-δkj0 +εkjl

=2・εjkl

[I0,μ   μ=03

=0


反交換関係

{Ij,k   j,k,l=13 

jkkj

=(-δjk0+εjkl)+(-δkj0+εkjl

=-2・δjk0 +εjkl-εjkl

=-2・δjk0

{I0,μ   μ=03

=2・μ


パウリ行列σμとの関係

  σ0σμ=σμ    σ0単位行列

  σjσδjkσ0+i・εjklσl  

  [σj,σk]= 2i・εjklσl  

  {σj,σk}= 2・δjkσ0

   0σ0 

   j-i・σj

 

 [Ij,k]=  (-i)2[σj,σk]= 2・εjkl (-i・σ) 2・εjkl

 {Ij,k}=  (-i)2{σj,σk}= -2・δjkσ0=-2・δjk0

 [I0,k]=  (-i)[σ0,σk]=0

 {I0,k}=  (1)(-i){σ0,σk}=-2(-i・σk)=-2Ik

どこかの博士が愛したオイラー氏の式

 

 注意:博士がオイラー氏を愛した訳ではありせん。


 X=x00+x11

   0=1 x1=φ とすると

 Z=exp(X)=cosφI0sinφI1

 Z=Xexp(X)

 =φ1cosφI0sinφI1

 =-(φsinφ)I0+(φcosφ)I1

 

 時間微分に関するニュートン氏のドット記法では、記号の上に「・」を付記しますが、面倒なので右上に付けます。

 X2

=(X,X)+{x0,k}I+[xj,k]Ijk

=((x02-(xj2)I+2・x0kk


 X=xj   :j=1~3    0=0

 exp(X)のマクローリン展開式

 =ΣXn/n!

 =ΣX2k/(2k)!+ΣX2k1/(2k+1)!

|X|2=ρ2=xjj

  

  2 =xjj(I2    ∵ (xjk-xkj)Ik0

     =-xjj

       =-ρ20

(X2k=(-1)kρ2k0

  X2k+1=(-1)kρ2k

 ΣX2k/(2k)!

 =Σ(-1)kρ2k/(2k)!I0

 =Icosρ

 ΣX2k1/(2k+1)!

 =Σ(-1)kρ2k1X/ρ

 =(X/ρ)sinρ 


 ∴ exp(X)=Icosρ+(X/ρ)sinρ  

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