複素数x+yiの拡張
i:虚数単位 i2=-1
ハミルトン氏の四元数 Iμ :μ=0~3
(I0)2=I0
(Ij)2=-I0 :j=1~3
IjIk =-δjkI0 +εjkl Il
: δjk デルタ記号 j=kのとき1、そうでないとき0
:εjkl 完全反対称テンソルε123=+1 ε132=-1 etc
Ex)
I1I2= ε123I3=I3 I1I2I3=-I0
I1I3= ε132I2=-I2
逸話
1843年10月16日にハミルトン氏は、発見の興奮を抑えきれず橋の欄干に
「i2=j2=k2=ijk=-1」を刻み付けたらしい。
(蛇足:I1=i I2=j I3=k I0=1
器物損壊罪となるので、良い子は真似しないようにしましょう。)
アインシュタイン氏の規約
ΣAμBμ
を単にAμBμと表記します(同じ記号があれば、総和をとる)。
四元数の乗算
X=xμIμ
P=pμIμ :μ=0~3
J,k,l=1~3
XP=(x0I0+x1I1+x2I2+x3I3)(p0I0+p1I1+p2I2+p3I3)
=(x0p0-xjpj)I0 +(x0pj+xjp0)Ij +(xjpk-xkpj)Ij Ik
右辺第1項(スカラー積:内積)
(X,P)= xμpμ(Iμ)2
=(x0p0-xjpj)I0
右辺第3項(ベクトル積:外積)
(xjpk-xkpj)Ij Ik
=Ljkεjkl Il :xを位置、pを運動量としてLは角運動量となります。
交換関係
[Ij,Ik] j,k,l=1~3
=IjIk-IkIj
=(-δjkI0+ εjklIl)-(-δkjI0 +εkjlIl)
=2・εjklIl
[I0,Iμ] μ=0~3
=0
反交換関係
{Ij,Ik} j,k,l=1~3
=IjIk+IkIj
=(-δjkI0+εjklIl)+(-δkjI0+εkjlIl)
=-2・δjkI0 +εjklIl-εjklIl
=-2・δjkI0
{I0,Iμ} μ=0~3
=2・Iμ
パウリ行列σμとの関係
σ0σμ=σμ σ0:単位行列
σjσk =δjkσ0+i・εjklσl
[σj,σk]= 2i・εjklσl
{σj,σk}= 2・δjkσ0
I0=σ0
Ij=-i・σj
[Ij,Ik]= (-i)2[σj,σk]= 2・εjkl (-i・σl)= 2・εjklIl
{Ij,Ik}= (-i)2{σj,σk}= -2・δjkσ0=-2・δjkI0
[I0,Ik]= (-i)[σ0,σk]=0
{I0,Ik}= (-1)・(-i){σ0,σk}=-2(-i・σk)=-2Ik
注意:博士がオイラー氏を愛した訳ではありせん。
X=x0I0+x1I1
x0=1 x1=φ とすると
Z=exp(X)=cosφI0+sinφI1
Z・=X・exp(X)
=φ・I1(cosφI0+sinφI1)
=-(φ・sinφ)I0+(φ・cosφ)I1
時間微分に関するニュートン氏のドット記法では、記号の上に「・」を付記しますが、面倒なので右上に付けます。
X2
=(X,X)+{x0,xk}Ik +[xj,xk]IjIk
=((x0)2-(xj)2)I0 +2・x0xkIk
X=xjIj :j=1~3 x0=0
exp(X)のマクローリン展開式
=ΣXn/n!
=ΣX2k/(2k)!+ΣX2k+1/(2k+1)!
|X|2=ρ2=xjxj
X2 =xjxj(Ij )2 ∵ (xjxk-xkxj)Ij Ik=0
=-xjxjI0
=-ρ2I0
(X2)k=(-1)kρ2kI0
X2k+1=(-1)kρ2kX
ΣX2k/(2k)!
=Σ(-1)kρ2k/(2k)!I0
=I0 cosρ
ΣX2k+1/(2k+1)!
=Σ(-1)kρ2k+1X/ρ
=(X/ρ)sinρ
∴ exp(X)=I0 cosρ+(X/ρ)sinρ