相対速度Ｖｊ（ｊ＝1-3）

ｘ’ｊ＝ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0

ｘ’0＝ｘ0　－Ｖｊ・ｘｊ／ｃ

 Ｖ1／ｘ1＝Ｖ2／ｘ2＝Ｖ3／ｘ3

Ｖｊ・ｘｊ＝｜Ｖｊ｜・｜ｘｊ｜

｜Ｖｊ｜＝√（Ｖ1＾2＋Ｖ2＾2＋Ｖ3＾2）

｜ｘｊ｜＝√（ｘ1＾2＋ｘ2＾2＋ｘ3＾2）

ｘ’ｊ・ｘ’ｊ

＝ｘｊ・ｘｊ－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0＋（Ｖｊ／ｃ）^2・(ｘ0)^2

ｘ’0・ｘ’0

＝ｘ0・ｘ0　－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0　－（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2

（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2＝（|Ｖｊ｜^2・｜ｘｊ｜^2）／ｃ^2

ｘ’0・ｘ’0－ｘ’ｊ・ｘ’ｊ

≒ｘ0・ｘ0－ｘｊ・ｘｊ

（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’ｊ＝（Ｖｊ／ｃ）・ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）^2・ｘ0

ｘ’0＋Ｖｊ・ｘ’ｊ／ｃ≒ｘ0－Ｖｊ・ｘｊ／ｃ＋Ｖｊ・ｘｊ／ｃ＝ｘ0

（Ｖｊ／ｃ）^2・ｘ0＝｜Ｖｊ｜^2・ｘ0／ｃ^2

（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’0＝（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0　－（Ｖｊ／ｃ）・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）

ｘ’ｊ＋（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’0≒ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0＋（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0＝ｘｊ

（Ｖｊ／ｃ）・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）＝｜Ｖｊ｜^2・ｘｊ／ｃ^2 　（∵Ｖｊ＝｜Ｖｊ｜ｘｊ／｜ｘｊ｜）

　ニュートンの運動方程式を変えない一次座標変換

記法

dot（Ｘj）＝ｄＸj／ｄＸ0　　　；１階微分

dot((Ｘj))＝dot（dot（Ｘj）)　　：２階微分

j=１－３

力　Ｆ＝ｍ・ｃ^2・dot((Ｘ’j))

　　　＝ｍ・ｃ^2・dot((Ｘj))

・変換係数Ａ～Ｄ

　Ｘ’j＝Ａ・Ｘj＋Ｂ・Ｘ0

　Ｘ’0＝Ｃ・Ｘj＋Ｄ・Ｘ0

dot（Ｘ’j）＝（Ａ・dot（Ｘj）＋Ｂ）／（Ｄ＋Ｃ・dot（Ｘj））

dot((Ｘ’j))＝（Ａ・Ｄ－Ｂ・Ｃ）・dot((Ｘj))／（Ｄ＋Ｃ・dot（Ｘj））^3

∴　Ｃ＝０

　Ａ＝Ｄ^2

Ｘj=0のとき、　Ｘ’j／Ｘ’0＝Ｂ／Ｄ＝－β＝－Ｖ／ｃ　　　Ｖ：相対速度

変換行列Ｇ（β）

＝（Ｄ^2　－β・Ｄ

　　０　　　　　Ｄ）

Ｇ（－β）Ｇ（β）

＝（Ｄ　＋β・Ｄ　

　　０　　　　Ｄ）

・（Ｄ　－β・Ｄ

　　０　　　　Ｄ）

＝Ｄ^2（Ｄ　　（１－Ｄ）・β

　　　　０　　　１　）

＝Ｉ（恒等変換行列）＝（１　　０

　　　　　　　　　　　　０　　１）

∴Ｄ＝１

（Ｘ’j

Ｘ’0）

＝（１－β

　　０　１）

・（Ｘj

Ｘ0）

ｃｆ）

　相対性原理から

　Ａ＝Ｄ

　Ｂ／Ａ＝－β

　Ａ・（Ａ＋β・Ｃ）＝１

　β＝０のとき　　　Ｂ＝０

　　　　　　　　　　Ａ^2＝１

　β＝１のとき　　　Ｂ＝－Ａ

　　　　　　　　　　Ｃ＝（１－Ａ^2）／Ａ

・記号

　Ｐμ：４元運動量成分　（μ＝０，１～３）

　β＝Ｖ／ｃ

　ｍ：質量

　Ｐ’1＝Ｐ1－β・Ｐ0

　Ｐ’0＝Ｐ0－β・Ｐ1

 （Ｐ’0）^2－（Ｐ’1）^2

　＝（１－β^2）・（Ｐ0^2－Ｐ1^2）≒Ｐ0^2－Ｐ1^2＝（ｍｃ）^2

　｜Ｐ0｜＝√（（ｍｃ）^2＋Ｐ1^2）

　　　　　＝ｍｃ√（１＋（Ｐ1／ｍｃ）^2）

　　　　　≒ｍｃ（１＋（Ｐ1／ｍｃ）^2／２）　　（Ｐ1<<ｍｃ）

　　　　　＝ｍｃ＋Ｐ1^2／（２ｍｃ）

∴｜ｖｐ｜＝｜Ｐ0／Ｐ1｜ｃ

　　　　　＝ｍｃ^2／｜Ｐ1｜＋｜Ｐ1｜／（２ｍ）

　　　　　＞２√（（ｍｃ^2／｜Ｐ1｜）・（｜Ｐ1｜／（２ｍ）））＝（√２）・ｃ

　ｖｐ＞（√２）・ｃ　または　ｖｐ＜－（√２）・ｃ

ｃｆ）

　｜ｖｐ｜＝ｃ√（１＋（ｍｃ／Ｐ1）^2）

　　　　　≒ｍｃ^2／｜Ｐ1｜　　　（Ｐ1<<ｍｃ）

　群速度：ｖｇ＝Ｐ1／ｍ

　｜ｖｐ｜・｜ｖｇ｜＝ｃ^2

 ４次元平坦時空

（１，３）擬似ユークリッド時空

記号

　ημν：計量テンソル　（μ，ν＝0,1-3）

  （Ｊ0）2＝（Ｊk）2＝Ｊ0   　（ｋ＝1-3）

 ［Ｊ0，Ｊk］＝０      :交換子［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ

　｛Ｊn，Ｊm｝＝2Ｊ0δnm    （n,m＝1-3）  :反交換子｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋ＢＡ

　ｎ＝ｎkＪk    :単位ベクトル　（ｋ＝1-3）

　θ：ラピディティ　　β＝ｎktanhθ

　ｄｘ＝Ｊνｄｘν＝Ｊ0ｄｘ0＋Ｊkｄｘk    

  ｄ－ｘ＝Ｊ0ｄｘ0－Ｊkｄｘk                 :Einstein縮約規則

　ｄｓ2＝ｄ－ｘｄｘ

       ＝（Ｊ0ｄｘ0）2－ＪkＪmｄｘkｄｘm

       ＝Ｊ0（ｄｘ0）2－（1/2)｛Ｊk，Ｊm｝ｄｘkｄｘm

           ＝Ｊ0（ｄｘ0）2－Ｊ0δkm ｄｘkｄｘm

       ＝Ｊ0（ｄｘ0）2－Ｊ0（ｄｘk）2

       ＝ημνｄｘμｄｘν

  η00＝Ｊ0　　

  ηkm＝－Ｊ0δkm 　　　　（ｋ，ｍ＝1-3）

  ∴ημν＝diag Ｊ0　（+1,-1,-1,-1）　　:対角行列

Ｓ系

　　Ｔ＝ｘ0Ｊ0

　　Ｘ＝ｘkＪk　　　　　　　　（ｋ＝1-3）

Ｓ'系

　　Ｔ'＝ｘ'0Ｊ0

Ｘ'＝ｘ'kＪk　

ｄｓ2＝（Ｔ'）2－（Ｘ'）2＝（Ｔ）2－（Ｘ）2

　　＝（Ｔ'＋Ｘ'）（Ｔ'－Ｘ'）＝（Ｔ＋Ｘ）（Ｔ－Ｘ）

Ｔ'＋Ｘ'＝exp(ｎθ)（Ｔ＋Ｘ）

Ｔ'－Ｘ'＝（Ｔ－Ｘ）exp(－ｎθ)　　とおく

（Ｔ'＋Ｘ'）（Ｔ'－Ｘ'）

＝exp(ｎθ)（Ｔ＋Ｘ）（Ｔ－Ｘ）exp(－ｎθ)　

＝exp(ｎθ)（（Ｔ）2－（Ｘ）2）exp(－ｎθ)　

＝（Ｔ）2－（Ｘ）2

exp(±ｎθ)＝Ｊ0coshθ±ｎsinhθ　より

exp(ｎθ)（Ｔ＋Ｘ）

＝（Ｊ0coshθ＋ｎsinhθ）（Ｔ＋Ｘ）

＝Ｊ0Ｔcoshθ＋ｎＴsinhθ＋Ｊ0Ｘcoshθ＋ｎＸsinhθ

（Ｔ－Ｘ）exp(－ｎθ)　

＝（Ｔ－Ｘ）（Ｊ0coshθ－ｎsinhθ）

＝ＴＪ0coshθ－Ｔｎsinhθ－Ｊ0Ｘcoshθ＋Ｘｎsinhθ

Ｔ'＋Ｘ'＝Ｊ0Ｔcoshθ＋ｎＴsinhθ＋Ｊ0Ｘcoshθ＋ｎＸsinhθ

Ｔ'－Ｘ'＝Ｊ0Ｔcoshθ－ｎＴsinhθ－Ｊ0Ｘcoshθ＋Ｘｎsinhθ

・和から

　２Ｔ'＝２Ｊ0Ｔcoshθ＋（ｎＸ＋Ｘｎ）sinhθ

ここで

　ｎＸ＝ｎkｘmＪkＪm

          ＝（1/2)｛Ｊk，Ｊm｝ｎkｘm

　　　＝Ｊ0δkm ｎkｘm

　　　＝ｎkｘkＪ0　

　Ｘｎ＝ｘmｎkＪmＪk

          ＝（1/2)｛Ｊm，Ｊk｝ｎkｘm

　　　＝Ｊ0δmk ｎkｘm

　　　＝ｎkｘkＪ0　

Ｔ'＝ｘ'0Ｊ0＝ｘ0Ｊ0coshθ＋ｎkｘkＪ0sinhθ

   ∴  ｘ'0＝coshθ（ｘ0＋ｎktanhθｘk）             

          ＝coshθ（ｘ0＋βkｘk）

　　　　　≒ｘ0＋βkｘk（=｜β｜｜ｘ｜）　：θ≒０で  coshθ≒1

・差から

　２Ｘ'＝２ｎＴsinhθ＋２Ｊ0Ｘcoshθ

　　Ｘ'＝ｘ'kＪk＝ｎkｘ0ＪkＪ0sinhθ＋ｘkＪ0Ｊkcoshθ

   ∴　ｘ'k＝ｘkcoshθ＋ｎkｘ0sinhθ

　　　　　＝coshθ（ｘk＋ｎkｘ0tanhθ）

          ＝coshθ（ｘk＋βkｘ0）

　　　　　≒ｘk＋βkｘ0　　：θ≒０で coshθ≒1