ガリレイ変換と私

ハッブル則

   S系  S

   x   x   :星Aから星Bまでの距離

   v   v   :星Aからみた星Bの後退速度

   H   H   :ハッブル係数(H・t=H・t=1)

 

S系

  v=H・x

 

  v=(v-β・c)/(1-(β/c)・v)

  H=H・(t/)=H/(1-(β/c)・v)

  x=x-(β・c)t

 

  ∴ H・x =H・(x-(β・c)t)/(1-(β/c)・v)=v

 

cf)

    m:星Bの質量

  運動量:P=m・v=m・H・x

 

  dP/dt=m・((dH/dt)・x+H・(dx/dt))

       =m・x・(dH/dt+H^2

       =m・v・(dH/dt+H^2)/H

 

  ∴(dP/dt)/P =(dH/dt+H^2)/H

 

(i)              dP/dt=0の場合

       dH/dt=-H^2

       H(0)=H0として、H(t)=H0/(1+H0・t)

                  1<<H0・tの場合、H(t)=1/t

(ii)            dP/dt=a(>0)の場合

       dH/dt=H・(a-H)

 

     H>0 and a>Hの場合 加速膨張

      Ex)aが一定なら(H:ロジスティック関数)、

H(t)=a/(1+(a/H0-1)・exp(-a・t))

     H>0 and a<Hの場合 減速膨張

 相対速度

 相対速度Vj(j=1-3


j=xj-(Vj/c)・x0

’0=x0 -Vj・xj/c

 

 1/x1=V2/x2=V3/x3

Vj・xj=|Vj|・|xj|

|Vj|=√(V12+V22+V32

|xj|=√(x12+x22+x32

 

 

j・x

=xj・xj-2・(Vj・xj/c)・x0+(Vj/c)^2(0)^2

 

’0・x’0

=x0・x0 -2・(Vj・xj/c)・x0 -(Vj・xj/c)^2

 

(Vj・xj/c)^2=(|Vj|^2・|xj|^2)/c^2

 

’0・x’0-xj・x

≒x0・x0-xj・xj

 

(Vj/c)・xj=(Vj/c)・xj-(Vj/c)^2・x0

’0+Vj・xj/c≒x0-Vj・xj/c+Vj・xj/c=x0

 

(Vj/c)^2・x0=|Vj|^2・x0/c^2

 

(Vj/c)・x’0=(Vj/c)・x0 -(Vj/c)・(Vj・xj/c)

j+(Vj/c)・x’0≒xj-(Vj/c)・x0+(Vj/c)・x0=xj

 

(Vj/c)・(Vj・xj/c)=|Vj|^2・xj/c^2  (∵Vj=|Vj|xj/|xj|)

ガリレイ変換とは

 ニュートンの運動方程式を変えない一次座標変換

 

記法

dot(Xj)=dXj/dX0   ;1階微分

dot((j))dotdot(Xj)  :2階微分

j=1-3

 

力 F=m・c^2dot((’j))

   =m・c^2dot((j))

 

・変換係数A~D

 X’j=A・Xj+B・X0

 X’0=C・Xj+D・X0

 

dot(X’j)=(A・dot(Xj)+B)/(D+C・dot(Xj))

dot((’j))=(A・D-B・C)・dot((j))/(D+C・dot(Xj))^3

 

∴ C=0

 A=D^2

 

j=0のとき、 X’j/X’0=B/D=-β=-V/c   V:相対速度

 

変換行列G(β)

=(D^2 -β・D

  0     D)

 

G(-β)G(β)

=(D +β・D 

  0    D)

・(D -β・D

  0    D)

 

=D^2(D  (1-D)・β

    0   1 )

=I(恒等変換行列)=(1  0

            0  1)

 

∴D=1

 

(X’j

’0

=(1-β

  0 1)

・(Xj

0

 

cf)

 相対性原理から

 A=D

 B/A=-β

 A・(A+β・C)=1

 

 β=0のとき   B=0

          A^2=1

 β=1のとき   B=-A

          C=(1-A^2)/A

 

位相速度vp

・記号

 Pμ:4元運動量成分 (μ=0,1~3)

 β=V/c

 m:質量

 

 P’1=P1-β・P0

 P’0=P0-β・P1

 

 (P’0^2-(P’1^2

 =(1-β^2)・(P0^2-P1^2)≒P0^2-P1^2=(mc)^2

 

 |P0|=√((mc)^2+P1^2

     =mc√(1+(P1/mc)^2

     ≒mc(1+(P1/mc)^2/2)  (P1<<mc)

     =mc+P1^2/(2mc)

∴|vp|=|P0/P1|c

     =mc^2/|P1|+|P1|/(2m)

     >2√((mc^2/|P1|)・(|P1|/(2m)))=(√2)・c

 

 vp>(√2)・c または vp<-(√2)・c

 

cf)

 |vp|=c√(1+(mc/P1^2

     ≒mc^2/|P1|   (P1<<mc)

 群速度:vg=P1/m

 |vp|・|vg|=c^2

無名のヒト
作家:無名のヒト
ガリレイ変換と私
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