S系 S’系
x x’ :星Aから星Bまでの距離
v v’ :星Aからみた星Bの後退速度
H H’ :ハッブル係数(H・t=H’・t’=1)
S系
v=H・x
S’系
v’=(v-β・c)/(1-(β/c)・v)
H’=H・(t/t’)=H/(1-(β/c)・v)
x’=x-(β・c)t
∴ H’・x’ =H・(x-(β・c)t)/(1-(β/c)・v)=v’
cf)
m:星Bの質量
運動量:P=m・v=m・H・x
dP/dt=m・((dH/dt)・x+H・(dx/dt))
=m・x・(dH/dt+H^2)
=m・v・(dH/dt+H^2)/H
∴(dP/dt)/P =(dH/dt+H^2)/H
(i)
dP/dt=0の場合
dH/dt=-H^2
H(0)=H0として、H(t)=H0/(1+H0・t)
1<<H0・tの場合、H(t)=1/t
(ii)
dP/dt=a(>0)の場合
dH/dt=H・(a-H)
H>0 and a>Hの場合 加速膨張
Ex)aが一定なら(H:ロジスティック関数)、
H(t)=a/(1+(a/H0-1)・exp(-a・t))
H>0 and a<Hの場合 減速膨張
相対速度Vj(j=1-3)
x’j=xj-(Vj/c)・x0
x’0=x0 -Vj・xj/c
V1/x1=V2/x2=V3/x3
Vj・xj=|Vj|・|xj|
|Vj|=√(V1^2+V2^2+V3^2)
|xj|=√(x1^2+x2^2+x3^2)
x’j・x’j
=xj・xj-2・(Vj・xj/c)・x0+(Vj/c)^2・(x0)^2
x’0・x’0
=x0・x0 -2・(Vj・xj/c)・x0 -(Vj・xj/c)^2
(Vj・xj/c)^2=(|Vj|^2・|xj|^2)/c^2
x’0・x’0-x’j・x’j
≒x0・x0-xj・xj
(Vj/c)・x’j=(Vj/c)・xj-(Vj/c)^2・x0
x’0+Vj・x’j/c≒x0-Vj・xj/c+Vj・xj/c=x0
(Vj/c)^2・x0=|Vj|^2・x0/c^2
(Vj/c)・x’0=(Vj/c)・x0 -(Vj/c)・(Vj・xj/c)
x’j+(Vj/c)・x’0≒xj-(Vj/c)・x0+(Vj/c)・x0=xj
(Vj/c)・(Vj・xj/c)=|Vj|^2・xj/c^2 (∵Vj=|Vj|xj/|xj|)
ニュートンの運動方程式を変えない一次座標変換
記法
dot(Xj)=dXj/dX0 ;1階微分
dot((Xj))=dot(dot(Xj)) :2階微分
j=1-3
力 F=m・c^2・dot((X’j))
=m・c^2・dot((Xj))
・変換係数A~D
X’j=A・Xj+B・X0
X’0=C・Xj+D・X0
dot(X’j)=(A・dot(Xj)+B)/(D+C・dot(Xj))
dot((X’j))=(A・D-B・C)・dot((Xj))/(D+C・dot(Xj))^3
∴ C=0
A=D^2
Xj=0のとき、 X’j/X’0=B/D=-β=-V/c V:相対速度
変換行列G(β)
=(D^2 -β・D
0 D)
G(-β)G(β)
=(D +β・D
0 D)
・(D -β・D
0 D)
=D^2(D (1-D)・β
0 1 )
=I(恒等変換行列)=(1 0
0 1)
∴D=1
(X’j
X’0)
=(1-β
0 1)
・(Xj
X0)
cf)
相対性原理から
A=D
B/A=-β
A・(A+β・C)=1
β=0のとき B=0
A^2=1
β=1のとき B=-A
C=(1-A^2)/A
・記号
Pμ:4元運動量成分 (μ=0,1~3)
β=V/c
m:質量
P’1=P1-β・P0
P’0=P0-β・P1
(P’0)^2-(P’1)^2
=(1-β^2)・(P0^2-P1^2)≒P0^2-P1^2=(mc)^2
|P0|=√((mc)^2+P1^2)
=mc√(1+(P1/mc)^2)
≒mc(1+(P1/mc)^2/2) (P1<<mc)
=mc+P1^2/(2mc)
∴|vp|=|P0/P1|c
=mc^2/|P1|+|P1|/(2m)
>2√((mc^2/|P1|)・(|P1|/(2m)))=(√2)・c
vp>(√2)・c または vp<-(√2)・c
cf)
|vp|=c√(1+(mc/P1)^2)
≒mc^2/|P1| (P1<<mc)
群速度:vg=P1/m
|vp|・|vg|=c^2