・記号

［Ａ,Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ　：交換子

　Ｐ0, Ｐ1  ：４元運動量成分　（Ｐ2＝Ｐ3＝０）

　Ｘ0, Ｘ1　：４元位置成分

　ｍ　：質量

・単位系

　ｈ＝２・π（自然単位系）

　ⅰ：虚数単位

・Ｓ系

　［Ｘ1, Ｐ1］=ⅰ

　［Ｘ0, Ｐ0］=－ⅰ

・変換式

　Ｘ’0＝Ｘ0－β・Ｘ1

  Ｘ’1＝Ｘ1－β・Ｘ0

Ｐ’0＝Ｐ0－β・Ｐ1

  Ｐ’1＝Ｐ1－β・Ｐ0

・Ｓ’系

　［Ｘ’1, Ｐ’1］

= ［Ｘ1－β・Ｘ0, Ｐ1－β・Ｐ0］

= ［Ｘ1, Ｐ1］

　－β（［Ｘ0, Ｐ1］＋［Ｘ1, Ｐ0］）

　＋β^2［Ｘ0, Ｐ0］

＝   ⅰ（１－β^2）　（ｍ＝０）

　or ⅰ（１－β^2　－β（ｍｃ）^2／Ｐ0／Ｐ1） （ｍ≠０，Ｐ0 >０）

　［Ｘ’0, Ｐ’0］

= ［Ｘ0－β・Ｘ1, Ｐ0－β・Ｐ1］

= ［Ｘ0, Ｐ0］

　－β（［Ｘ0, Ｐ1］＋［Ｘ1, Ｐ0］）

　＋β^2［Ｘ1, Ｐ1］

＝   －ⅰ（１－β^2）　（ｍ＝０）

　or －ⅰ（１－β^2　＋β（ｍｃ）^2／Ｐ0／Ｐ1） （ｍ≠０，Ｐ0 >０）

ｃｆ）

Ｐ0=√（Ｐ1^2＋（ｍｃ）^2）

ｍ＝０の場合

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰ

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰ

ｍ≠０の場合

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰ（Ｐ1／Ｐ0）

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰ（Ｐ0／Ｐ1）

Ｐ0=α1 Ｐ1+b(mc) 　　　　　　　{αj,αk}＝２Iδjk  {αj,b}＝0  αj^2＝ｂ^2＝Ｉ  

Ｐ1=α1 Ｐ0－α1b(mc) 

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰα1

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰα1

 　　Ｓ系　　Ｓ’系

　　　ｘ　　　ｘ’　　　：星Ａから星Ｂまでの距離

　　　ｖ　　　ｖ’　　　：星Ａからみた星Ｂの後退速度

　　　Ｈ　　　Ｈ’　　　：ハッブル係数（Ｈ・ｔ＝Ｈ’・ｔ’＝１）

Ｓ系

　　ｖ＝Ｈ・ｘ

Ｓ’系

　　ｖ’＝（ｖ－β・ｃ）／（１－（β/ｃ）・ｖ）

　　Ｈ’＝Ｈ・（ｔ/ｔ’）＝Ｈ／（１－（β/ｃ）・ｖ）

　　ｘ’＝ｘ－（β・ｃ）ｔ

　　∴　Ｈ’・ｘ’　＝Ｈ・（ｘ－（β・ｃ）ｔ）／（１－（β/ｃ）・ｖ）＝ｖ’

ｃｆ）

　　　　ｍ：星Ｂの質量

　　運動量：Ｐ＝ｍ・ｖ＝ｍ・Ｈ・ｘ

　　ｄＰ／ｄｔ＝ｍ・（（ｄＨ／ｄｔ）・ｘ＋Ｈ・（ｄｘ／ｄｔ））

　　　　　　　＝ｍ・ｘ・（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）

　　　　　　　＝ｍ・ｖ・（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）／Ｈ

　　∴（ｄＰ／ｄｔ）／Ｐ　＝（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）／Ｈ

（i）              ｄＰ／ｄｔ＝０の場合

　　　　　　　ｄＨ／ｄｔ＝－Ｈ^2

　　　　　　　Ｈ（０）＝Ｈ0として、Ｈ（ｔ）＝Ｈ0／（１＋Ｈ0・ｔ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＜＜Ｈ0・ｔの場合、Ｈ（ｔ）＝１／ｔ

（ii）            ｄＰ／ｄｔ＝ａ（＞０）の場合

　　　　　　　ｄＨ／ｄｔ＝Ｈ・（ａ－Ｈ）

　　　　　Ｈ＞０　and　ａ＞Ｈの場合　加速膨張

　　　　　　Ex）ａが一定なら（Ｈ：ロジスティック関数）、

Ｈ（ｔ）＝ａ／（１＋（ａ／Ｈ0－１）・exp（－ａ・ｔ））

　　　　　Ｈ＞０　and　ａ＜Ｈの場合　減速膨張

　相対速度Ｖｊ（ｊ＝1-3）

ｘ’ｊ＝ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0

ｘ’0＝ｘ0　－Ｖｊ・ｘｊ／ｃ

 Ｖ1／ｘ1＝Ｖ2／ｘ2＝Ｖ3／ｘ3

Ｖｊ・ｘｊ＝｜Ｖｊ｜・｜ｘｊ｜

｜Ｖｊ｜＝√（Ｖ1＾2＋Ｖ2＾2＋Ｖ3＾2）

｜ｘｊ｜＝√（ｘ1＾2＋ｘ2＾2＋ｘ3＾2）

ｘ’ｊ・ｘ’ｊ

＝ｘｊ・ｘｊ－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0＋（Ｖｊ／ｃ）^2・(ｘ0)^2

ｘ’0・ｘ’0

＝ｘ0・ｘ0　－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0　－（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2

（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2＝（|Ｖｊ｜^2・｜ｘｊ｜^2）／ｃ^2

ｘ’0・ｘ’0－ｘ’ｊ・ｘ’ｊ

≒ｘ0・ｘ0－ｘｊ・ｘｊ

（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’ｊ＝（Ｖｊ／ｃ）・ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）^2・ｘ0

ｘ’0＋Ｖｊ・ｘ’ｊ／ｃ≒ｘ0－Ｖｊ・ｘｊ／ｃ＋Ｖｊ・ｘｊ／ｃ＝ｘ0

（Ｖｊ／ｃ）^2・ｘ0＝｜Ｖｊ｜^2・ｘ0／ｃ^2

（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’0＝（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0　－（Ｖｊ／ｃ）・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）

ｘ’ｊ＋（Ｖｊ／ｃ）・ｘ’0≒ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0＋（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0＝ｘｊ

（Ｖｊ／ｃ）・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）＝｜Ｖｊ｜^2・ｘｊ／ｃ^2 　（∵Ｖｊ＝｜Ｖｊ｜ｘｊ／｜ｘｊ｜）

　ニュートンの運動方程式を変えない一次座標変換

記法

dot（Ｘj）＝ｄＸj／ｄＸ0　　　；１階微分

dot((Ｘj))＝dot（dot（Ｘj）)　　：２階微分

j=１－３

力　Ｆ＝ｍ・ｃ^2・dot((Ｘ’j))

　　　＝ｍ・ｃ^2・dot((Ｘj))

・変換係数Ａ～Ｄ

　Ｘ’j＝Ａ・Ｘj＋Ｂ・Ｘ0

　Ｘ’0＝Ｃ・Ｘj＋Ｄ・Ｘ0

dot（Ｘ’j）＝（Ａ・dot（Ｘj）＋Ｂ）／（Ｄ＋Ｃ・dot（Ｘj））

dot((Ｘ’j))＝（Ａ・Ｄ－Ｂ・Ｃ）・dot((Ｘj))／（Ｄ＋Ｃ・dot（Ｘj））^3

∴　Ｃ＝０

　Ａ＝Ｄ^2

Ｘj=0のとき、　Ｘ’j／Ｘ’0＝Ｂ／Ｄ＝－β＝－Ｖ／ｃ　　　Ｖ：相対速度

変換行列Ｇ（β）

＝（Ｄ^2　－β・Ｄ

　　０　　　　　Ｄ）

Ｇ（－β）Ｇ（β）

＝（Ｄ　＋β・Ｄ　

　　０　　　　Ｄ）

・（Ｄ　－β・Ｄ

　　０　　　　Ｄ）

＝Ｄ^2（Ｄ　　（１－Ｄ）・β

　　　　０　　　１　）

＝Ｉ（恒等変換行列）＝（１　　０

　　　　　　　　　　　　０　　１）

∴Ｄ＝１

（Ｘ’j

Ｘ’0）

＝（１－β

　　０　１）

・（Ｘj

Ｘ0）

ｃｆ）

　相対性原理から

　Ａ＝Ｄ

　Ｂ／Ａ＝－β

　Ａ・（Ａ＋β・Ｃ）＝１

　β＝０のとき　　　Ｂ＝０

　　　　　　　　　　Ａ^2＝１

　β＝１のとき　　　Ｂ＝－Ａ

　　　　　　　　　　Ｃ＝（１－Ａ^2）／Ａ