・記号

　Ｘ：位置演算子

　Ｈ＝Ｐ^2／（２ｍ）＋Ｕ（ｘ）：ハミルトン演算子

　Ｕ（ｘ）：ポテンシャルエネルギー

　ｈ＝２・π（自然単位系）

［Ａ,Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ　：交換子

  ［Ｘ，Ｐ］＝i　　［ｔ，Ｐ］＝０

　∂1＝∂／∂ｘ1 　（ｘ１＝ｘ）

・Ｓ系

　iｄＰ／ｄｔ＝［Ｐ，Ｈ］

　iｄＸ／ｄｔ＝［Ｘ，Ｈ］

・変換式

　ｄＰ＝ｄＰ’＋ｄ（ｍＶ）

　ｄｔ＝ｄｔ’＋（β/ｃ）ｄｘ’

　ｄＸ＝ｄＸ’＋（βｃ）ｄｔ’

・Ｓ’系

iｄＰ／ｄｔ＝i（ｄＰ’／ｄｔ’）／（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））

［Ｐ,Ｈ］＝［Ｐ’＋mV，（Ｐ’＋mV）^2／（２ｍ）＋Ｕ］

　　　　　 ＝ ［Ｐ’、Ｕ］＝－i∂1Ｕ（ｘ’）

　∴ｄＰ’／ｄｔ’＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・（－∂1Ｕ（ｘ’））

　iｄＸ／ｄｔ＝i（ｄＸ’／ ｄｔ’＋βｃ）／（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））

　　［Ｘ,Ｈ］＝［Ｘ’＋ （βｃ）ｔ’，（Ｐ’＋mV）^2／（２ｍ）＋Ｕ］

　　　　　　＝［Ｘ’,Ｈ’］＋［Ｘ’，Ｐ’］V

            =［Ｘ’,Ｈ’］＋iβｃ

　∴i（ｄＸ’／ ｄｔ’＋βｃ）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・（［Ｘ’,Ｈ’］＋iβｃ）

　　i（ｄＸ’／ ｄｔ’）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・［Ｘ’,Ｈ’］＋iβ^2・（ｄｘ’／ｄｔ’）

１＞＞β^2ならば、

　i（ｄＸ’／ ｄｔ’）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・［Ｘ’,Ｈ’］

・記号

　∂0＝∂／∂ｘ0　（ｘ0＝ｃ・ｔ）

 ∂1＝∂／∂ｘ1

　ｖp：位相速度

　∂a＝∂0＋（ｖp／ｃ）∂1

∂b＝∂0－（ｖp／ｃ）∂1

　Ｖ：相対速度　β＝Ｖ／ｃ

　ｖa／ｃ＝（β＋ｖp／ｃ）／（１＋（ｖp／ｃ）・β）

　ｖb／ｃ＝（β－ｖp／ｃ）／（１－（ｖp／ｃ）・β）

・Ｓ系

　[（∂0）^2φ－（ｖp／ｃ）^2（∂1）^2]Φ＝∂a∂bΦ＝０

・変換式

　ｘ’0＝ｘ0－β・ｘ1

　   ｘ’1＝ｘ1－β・ｘ0

∂0＝∂’0－β・∂’1

　   ∂1＝∂’1－β・∂’0

∂a＝(１－（ｖp／ｃ）・β)∂’0－（β－ｖp／ｃ）∂’1

　  ∂b＝(１＋（ｖp／ｃ）・β)∂’0－（β＋ｖp／ｃ）∂’1

・Ｓ’系

　　∂a∂ｂΦ＝[１－（ｖp／ｃ）^2・β^2]（∂’0－（ｖa／ｃ）・∂’1）（∂’0－（ｖb／ｃ）・∂’1）Φ＝０

より（　ただし、（ｖp／ｃ）^2・β^2≠１）

　[（∂’0）^2－（ｖa／ｃ＋ｖb／ｃ）・∂’1・∂’0＋（ｖa／ｃ）・（ｖb／ｃ）・(∂’1）^2 ] Φ＝０

　β^2＜＜１の場合

　（ｖa／ｃ＋ｖb／ｃ）＝2β・[１－（ｖp／ｃ）^2]／[１－（ｖp／ｃ）^2・β^2] ≒2β・[１－（ｖp／ｃ）^2]

（ｖa／ｃ）・（ｖb／ｃ）＝[β^2－（ｖp／ｃ）^2]／ [１－（ｖp／ｃ）^2・β^2] ≒ －（ｖp／ｃ）^2

   Φ＝Φa（ｘ’1＋(ｖa／ｃ)・ｘ’0）＋Φb（ｘ’1＋(ｖb／ｃ)・ｘ’0）

・記号

［Ａ,Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ　：交換子

　Ｐ0, Ｐ1  ：４元運動量成分　（Ｐ2＝Ｐ3＝０）

　Ｘ0, Ｘ1　：４元位置成分

　ｍ　：質量

・単位系

　ｈ＝２・π（自然単位系）

　ⅰ：虚数単位

・Ｓ系

　［Ｘ1, Ｐ1］=ⅰ

　［Ｘ0, Ｐ0］=－ⅰ

・変換式

　Ｘ’0＝Ｘ0－β・Ｘ1

  Ｘ’1＝Ｘ1－β・Ｘ0

Ｐ’0＝Ｐ0－β・Ｐ1

  Ｐ’1＝Ｐ1－β・Ｐ0

・Ｓ’系

　［Ｘ’1, Ｐ’1］

= ［Ｘ1－β・Ｘ0, Ｐ1－β・Ｐ0］

= ［Ｘ1, Ｐ1］

　－β（［Ｘ0, Ｐ1］＋［Ｘ1, Ｐ0］）

　＋β^2［Ｘ0, Ｐ0］

＝   ⅰ（１－β^2）　（ｍ＝０）

　or ⅰ（１－β^2　－β（ｍｃ）^2／Ｐ0／Ｐ1） （ｍ≠０，Ｐ0 >０）

　［Ｘ’0, Ｐ’0］

= ［Ｘ0－β・Ｘ1, Ｐ0－β・Ｐ1］

= ［Ｘ0, Ｐ0］

　－β（［Ｘ0, Ｐ1］＋［Ｘ1, Ｐ0］）

　＋β^2［Ｘ1, Ｐ1］

＝   －ⅰ（１－β^2）　（ｍ＝０）

　or －ⅰ（１－β^2　＋β（ｍｃ）^2／Ｐ0／Ｐ1） （ｍ≠０，Ｐ0 >０）

ｃｆ）

Ｐ0=√（Ｐ1^2＋（ｍｃ）^2）

ｍ＝０の場合

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰ

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰ

ｍ≠０の場合

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰ（Ｐ1／Ｐ0）

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰ（Ｐ0／Ｐ1）

Ｐ0=α1 Ｐ1+b(mc) 　　　　　　　{αj,αk}＝２Iδjk  {αj,b}＝0  αj^2＝ｂ^2＝Ｉ  

Ｐ1=α1 Ｐ0－α1b(mc) 

［Ｘ1, Ｐ0］＝　ⅰα1

［Ｘ0, Ｐ1］＝－ⅰα1

 　　Ｓ系　　Ｓ’系

　　　ｘ　　　ｘ’　　　：星Ａから星Ｂまでの距離

　　　ｖ　　　ｖ’　　　：星Ａからみた星Ｂの後退速度

　　　Ｈ　　　Ｈ’　　　：ハッブル係数（Ｈ・ｔ＝Ｈ’・ｔ’＝１）

Ｓ系

　　ｖ＝Ｈ・ｘ

Ｓ’系

　　ｖ’＝（ｖ－β・ｃ）／（１－（β/ｃ）・ｖ）

　　Ｈ’＝Ｈ・（ｔ/ｔ’）＝Ｈ／（１－（β/ｃ）・ｖ）

　　ｘ’＝ｘ－（β・ｃ）ｔ

　　∴　Ｈ’・ｘ’　＝Ｈ・（ｘ－（β・ｃ）ｔ）／（１－（β/ｃ）・ｖ）＝ｖ’

ｃｆ）

　　　　ｍ：星Ｂの質量

　　運動量：Ｐ＝ｍ・ｖ＝ｍ・Ｈ・ｘ

　　ｄＰ／ｄｔ＝ｍ・（（ｄＨ／ｄｔ）・ｘ＋Ｈ・（ｄｘ／ｄｔ））

　　　　　　　＝ｍ・ｘ・（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）

　　　　　　　＝ｍ・ｖ・（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）／Ｈ

　　∴（ｄＰ／ｄｔ）／Ｐ　＝（ｄＨ／ｄｔ＋Ｈ^2）／Ｈ

（i）              ｄＰ／ｄｔ＝０の場合

　　　　　　　ｄＨ／ｄｔ＝－Ｈ^2

　　　　　　　Ｈ（０）＝Ｈ0として、Ｈ（ｔ）＝Ｈ0／（１＋Ｈ0・ｔ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＜＜Ｈ0・ｔの場合、Ｈ（ｔ）＝１／ｔ

（ii）            ｄＰ／ｄｔ＝ａ（＞０）の場合

　　　　　　　ｄＨ／ｄｔ＝Ｈ・（ａ－Ｈ）

　　　　　Ｈ＞０　and　ａ＞Ｈの場合　加速膨張

　　　　　　Ex）ａが一定なら（Ｈ：ロジスティック関数）、

Ｈ（ｔ）＝ａ／（１＋（ａ／Ｈ0－１）・exp（－ａ・ｔ））

　　　　　Ｈ＞０　and　ａ＜Ｈの場合　減速膨張