x=x’+β・x0
=x’+β・(x’0+β・x)
(1-β^2)x=x’+β・x’0
1>>β^2ならば、
x=x’+β・x’0
x0=x’0+β・x
=x’0+β・(x’+β・x0)
(1-β^2)x0=x’0+β・x’
1>>β^2ならば、
x0=x’0+β・x’
・記号
φ(x0,x1):波動関数
exp(X) :指数関数
∂0=∂/∂x0 (x0=c・t)
∂1=∂/∂x1
h=2・π(自然単位系)
m:粒子質量
P=-i∂1
Pφ=pφ:運動量
・S系
ⅰ∂0φ=[P^2/(2mc)]φ
・変換式
P=P’+mV (∵m・dx’1/dt=m・dx1/dt-mV)
∂0=(∂x’0/∂x0)∂’0+(∂x’1/∂x0)∂’1 =∂’0-β∂’1
∂1=(∂x’1/∂x1)∂’1+(∂x’0/∂x1)∂’0 =∂’1-β∂’0
・S'系
ⅰ∂0φ=i(∂’0-β∂’1)φ=(i∂’0+βP’)φ
[P^2/(2mc)]φ=[P’^2/(2mc)+βP’+mcβ^2/2]φ
∴ i∂’0φ=[P'^2/(2mc)+mcβ^2/2]φ
φ(x’0,x’1)=[exp(-i(mV^2/2)t’)]Ψ(x’0,x’1)とおけば、
i∂’0Ψ=[P'^2/(2mc)]Ψ
φ(x’0,x’1)∝ exp (i((E’-(mV^2/2)t’ ±p’x’1))
p’=√(2mE’)
・記号
X:位置演算子
H=P^2/(2m)+U(x):ハミルトン演算子
U(x):ポテンシャルエネルギー
h=2・π(自然単位系)
[A,B]=AB-BA :交換子
[X,P]=i [t,P]=0
∂1=∂/∂x1 (x1=x)
・S系
idP/dt=[P,H]
idX/dt=[X,H]
・変換式
dP=dP’+d(mV)
dt=dt’+(β/c)dx’
dX=dX’+(βc)dt’
・S’系
idP/dt=i(dP’/dt’)/(1+(β/c)(dx’/dt’))
[P,H]=[P’+mV,(P’+mV)^2/(2m)+U]
= [P’、U]=-i∂1U(x’)
∴dP’/dt’=(1+(β/c)(dx’/dt’))・(-∂1U(x’))
idX/dt=i(dX’/ dt’+βc)/(1+(β/c)(dx’/dt’))
[X,H]=[X’+ (βc)t’,(P’+mV)^2/(2m)+U]
=[X’,H’]+[X’,P’]V
=[X’,H’]+iβc
∴i(dX’/ dt’+βc)=(1+(β/c)(dx’/dt’))・([X’,H’]+iβc)
i(dX’/ dt’)=(1+(β/c)(dx’/dt’))・[X’,H’]+iβ^2・(dx’/dt’)
1>>β^2ならば、
i(dX’/ dt’)=(1+(β/c)(dx’/dt’))・[X’,H’]
・記号
∂0=∂/∂x0 (x0=c・t)
∂1=∂/∂x1
vp:位相速度
∂a=∂0+(vp/c)∂1
∂b=∂0-(vp/c)∂1
V:相対速度 β=V/c
va/c=(β+vp/c)/(1+(vp/c)・β)
vb/c=(β-vp/c)/(1-(vp/c)・β)
・S系
[(∂0)^2φ-(vp/c)^2(∂1)^2]Φ=∂a∂bΦ=0
・変換式
x’0=x0-β・x1
x’1=x1-β・x0
∂0=∂’0-β・∂’1
∂1=∂’1-β・∂’0
∂a=(1-(vp/c)・β)∂’0-(β-vp/c)∂’1
∂b=(1+(vp/c)・β)∂’0-(β+vp/c)∂’1
・S’系
∂a∂bΦ=[1-(vp/c)^2・β^2](∂’0-(va/c)・∂’1)(∂’0-(vb/c)・∂’1)Φ=0
より( ただし、(vp/c)^2・β^2≠1)
[(∂’0)^2-(va/c+vb/c)・∂’1・∂’0+(va/c)・(vb/c)・(∂’1)^2 ] Φ=0
β^2<<1の場合
(va/c+vb/c)=2β・[1-(vp/c)^2]/[1-(vp/c)^2・β^2] ≒2β・[1-(vp/c)^2]
(va/c)・(vb/c)=[β^2-(vp/c)^2]/ [1-(vp/c)^2・β^2] ≒ -(vp/c)^2
Φ=Φa(x’1+(va/c)・x’0)+Φb(x’1+(vb/c)・x’0)