（１）式に

　ｘ’＝ｘ＋ａ

　ｔ’＝ｔ＋ｂ　を代入

　ｘ^2＋２ａｘ＋ａ^2　－ｃ^2（ｔ^2＋２ｂｔ＋ｂ^2）＝ｘ^2　－（ｃ・ｔ）^2

　　ａ（２ｘ＋ａ）＝ｃ^2・ｂ（２ｔ＋ｂ）

　　（２ｘ＋ａ）／（２ｔ＋ｂ）＝ｃ^2・（ｂ／ａ）＝ｋ

　（ｘ＋ａ）／（ｔ＋ｂ）＝　ｘ／ｔ＝ｋ

　　　　　　　　　　　　∴　（ｘ／ｔ）・（ａ／ｂ）＝ｃ^2

 　ｘ’＝ｘ＋ａ

　 ｔ’＝ｔ＋(ａ・ｘ)／（ｃ^2・ｔ）

　ｘ＝０の場合、

　　－Ｖ＝（ｘ’／ ｔ’）＝ａ／ｔ　から　ａ＝－Ｖ・ｔ

　よって

ｘ’＝ｘ－β・ｘ0

　 ｘ’0＝ｘ0－β・ｘ

ｘ＝ｘ’＋β・ｘ0

　＝ｘ’＋β・（ｘ’0＋β・ｘ）

（１－β^2）ｘ＝ｘ’＋β・ｘ’0

  １>>β^2ならば、

　　ｘ＝ｘ’＋β・ｘ’0

　 ｘ0＝ｘ’0＋β・ｘ

　　　＝ｘ’0＋β・（ｘ’＋β・ｘ0）

　（１－β^2）ｘ0=ｘ’0＋β・ｘ’

　１>>β^2ならば、

　　　ｘ0=ｘ’0＋β・ｘ’

・記号

　φ（ｘ0,ｘ1）：波動関数

     exp(X) 　　 ：指数関数

　∂0＝∂／∂ｘ0　（ｘ0＝ｃ・ｔ）

 ∂1＝∂／∂ｘ1

　ｈ＝２・π（自然単位系）

　ｍ：粒子質量

　Ｐ＝－i∂1

　Ｐφ＝ｐφ：運動量

・Ｓ系

　ⅰ∂0φ＝［Ｐ^2／（２ｍｃ）］φ

・変換式

　Ｐ＝Ｐ’＋ｍＶ　（∵ｍ・ｄｘ’1/ｄｔ＝ｍ・ｄｘ1/ｄｔ－ｍＶ）

　∂0＝（∂ｘ’0/∂ｘ0）∂’0＋（∂ｘ’1/∂ｘ0）∂’1　＝∂’0－β∂’1

∂1＝（∂ｘ’1/∂ｘ1）∂’1＋（∂ｘ’0/∂ｘ1）∂’0　＝∂’1－β∂’0

・Ｓ'系

　ⅰ∂0φ＝i(∂’0－β∂’1)φ＝（i∂’0＋βＰ’)φ

　［Ｐ^2／（２ｍｃ）］φ＝［Ｐ’^2／（２ｍｃ）＋βＰ’＋ｍｃβ^2／２］φ

　∴　i∂’0φ＝［Ｐ'^2／（２ｍｃ）＋ｍｃβ^2／２］φ

　φ（ｘ’0,ｘ’1）＝［exp（－i（ｍＶ^2／２）ｔ’）］Ψ（ｘ’0,ｘ’1）とおけば、

    i∂’0Ψ＝［Ｐ'^2／（２ｍｃ）］Ψ

　φ（ｘ’0,ｘ’1）∝　exp (i（（Ｅ’－（ｍＶ^2／２）ｔ’　±ｐ’ｘ’1））

　ｐ’＝√（２ｍＥ’）

・記号

　Ｘ：位置演算子

　Ｈ＝Ｐ^2／（２ｍ）＋Ｕ（ｘ）：ハミルトン演算子

　Ｕ（ｘ）：ポテンシャルエネルギー

　ｈ＝２・π（自然単位系）

［Ａ,Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ　：交換子

  ［Ｘ，Ｐ］＝i　　［ｔ，Ｐ］＝０

　∂1＝∂／∂ｘ1 　（ｘ１＝ｘ）

・Ｓ系

　iｄＰ／ｄｔ＝［Ｐ，Ｈ］

　iｄＸ／ｄｔ＝［Ｘ，Ｈ］

・変換式

　ｄＰ＝ｄＰ’＋ｄ（ｍＶ）

　ｄｔ＝ｄｔ’＋（β/ｃ）ｄｘ’

　ｄＸ＝ｄＸ’＋（βｃ）ｄｔ’

・Ｓ’系

iｄＰ／ｄｔ＝i（ｄＰ’／ｄｔ’）／（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））

［Ｐ,Ｈ］＝［Ｐ’＋mV，（Ｐ’＋mV）^2／（２ｍ）＋Ｕ］

　　　　　 ＝ ［Ｐ’、Ｕ］＝－i∂1Ｕ（ｘ’）

　∴ｄＰ’／ｄｔ’＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・（－∂1Ｕ（ｘ’））

　iｄＸ／ｄｔ＝i（ｄＸ’／ ｄｔ’＋βｃ）／（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））

　　［Ｘ,Ｈ］＝［Ｘ’＋ （βｃ）ｔ’，（Ｐ’＋mV）^2／（２ｍ）＋Ｕ］

　　　　　　＝［Ｘ’,Ｈ’］＋［Ｘ’，Ｐ’］V

            =［Ｘ’,Ｈ’］＋iβｃ

　∴i（ｄＸ’／ ｄｔ’＋βｃ）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・（［Ｘ’,Ｈ’］＋iβｃ）

　　i（ｄＸ’／ ｄｔ’）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・［Ｘ’,Ｈ’］＋iβ^2・（ｄｘ’／ｄｔ’）

１＞＞β^2ならば、

　i（ｄＸ’／ ｄｔ’）＝（１＋（β/ｃ）（ｄｘ’／ｄｔ’））・［Ｘ’,Ｈ’］