・Ｓ系

ｉｄＸ1／ｄτ＝（ｄＸ0／ｄτ）・［Ｘ1，Ｐ0］

ｉｄＸ0／ｄτ＝（ｄＸ1／ｄτ）・［Ｘ0，Ｐ1］

　∂Ｘ1／∂τ＝0

　∂Ｘ0／∂τ＝ｄＸ0／ｄτ

・記号

ｄτ＝ｄｔ／γ

Ｖ＝ｄＸ1／ｄｔ

tanhθ＝β＝Ｖ／ｃ

coshθ＝（ｄＸ0／ｄτ）／ｃ

sinhθ＝（ｄＸ1／ｄτ）／ｃ

Ｐ0＝Ｈ／ｃ

Ｐ1：（ｘ1方向）運動量

［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ－ＢＡ

［Ｘ0，Ｐ0］＋［Ｘ1，Ｐ1］＝０

・ローレンツ変換式

Ｘ’1＝coshθ・Ｘ1－sinhθ・Ｘ0

Ｘ’0＝coshθ・Ｘ0－sinhθ・Ｘ1

Ｐ’1＝coshθ・Ｐ1－sinhθ・Ｐ0

Ｐ’0＝coshθ・Ｐ0－sinhθ・Ｐ1

・Ｓ’系

ｉ・ｄＸ’1／ｄτ＝０＝ｃ・［Ｘ’1，Ｐ’0］

ｄＸ’0／ｄτ＝ｃ＝∂Ｘ’0／∂τ＋（∂Ｘ’0／∂Ｘ1）・（ｄＸ1／ｄτ）

　ｉ・ｄＸ’1／ｄτ＝ｉ（coshθ・（ｄＸ1／ｄτ）－sinhθ・（ｄＸ0／ｄτ））

　［Ｘ’1，Ｐ’0］＝［coshθ・Ｘ1－sinhθ・Ｘ0，coshθ・Ｐ0－sinhθ・Ｐ1］

　∂Ｘ’0／∂τ＝（ｄＸ0／ｄτ）^2／ｃ

　∂Ｘ’0／∂Ｘ1＝－（ｄＸ1／ｄτ）／ｃ

　［Ｘ’0，Ｐ’1］＝０

Ｓ系　　ｎ　　　　　　　∂μ＝∂／∂ｘμ

Ｓ’系　　ｎ’　　　　　　　∂’μ＝∂／∂ｘ’μ

・ローレンツ変換

　　　（ｘ’0／ｎ’）^2－(ｘ’1)^2　＝（ｘ0／ｎ）^2－(ｘ1)^2

　　　　ｘ’0／ｎ’　＝coshθ・（ｘ0／ｎ）－sinhθ・ｘ1

　　　　ｘ’1　　　＝coshθ・ｘ1－sinhθ・（ｘ0／ｎ）

　　　　tanhθ＝ｎ’・β　　　β＝Ｖ／ｃ

　　　Ｓ系　　　ｎ^2・∂0^2 φ＝∂1^2　φ

　　　Ｓ’系

　　　　　  　ｎ’・∂’0＝coshθ・ｎ・∂0＋sinhθ・∂1

　　　　　　　∂’1＝coshθ・∂1 ＋ sinhθ・ｎ・∂0より

　　　　　　　ｎ’^2・∂’0^2 －∂’1^2 ≡　ｎ^2・∂0^2 －∂1^2

　　　　　　　ｎ’^2・∂’0^2 φ＝∂’1^2　φ

　相対速度Ｖｊ（ｊ＝1-3）

　βｊ＝Ｖｊ／ｃ

　｜β｜^2＝Ｖｊ・Ｖｊ／ｃ^2

　γ＝１／√（１－｜β｜^2）

ｘ’ｊ＝γ・（ｘｊ－（Ｖｊ／ｃ）・ｘ0）

ｘ’0＝γ・（ｘ0　－Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）

 Ｖ1／ｘ1＝Ｖ2／ｘ2＝Ｖ3／ｘ3

Ｖｊ・ｘｊ＝｜Ｖｊ｜・｜ｘｊ｜

｜Ｖｊ｜＝√（Ｖ1＾2＋Ｖ2＾2＋Ｖ3＾2）

｜ｘｊ｜＝√（ｘ1＾2＋ｘ2＾2＋ｘ3＾2）

ｘ’ｊ・ｘ’ｊ

＝γ^2・（ｘｊ・ｘｊ－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0＋（Ｖｊ／ｃ）^2・(ｘ0)^2）

ｘ’0・ｘ’0

＝γ^2・（ｘ0・ｘ0　－２・（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）・ｘ0　－（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2）

（Ｖｊ・ｘｊ／ｃ）^2＝（|Ｖｊ｜^2・｜ｘｊ｜^2）／ｃ^2

変換行列Ｌ（γ,β）＝Ｌ（β）＝Ｌ（β1,β2,β3）

　Ｌ（β）

＝γ×

（１　　－β1 　　－β2　　 －β3　

　－β1 　　　１　　０　　　０

　－β2　　　０　　１　　　０

　－β3　　　０　　０　　　１）

ミンコフスキー計量テンソル[η]μν

　η00＝１

　η0j＝ηj0＝０

　ηij＝－δij　　　i,j＝1-3

転置記号：　￣ｔ

（ηＬ（β））￣t

＝γ×

（１　　＋β1 　　＋β2　　 ＋β3　

　－β1 　　－１　　０　　　０

　－β2　　　０　－１　　　０

　－β3　　　０　　０　　－１）

(ηＬ（β）)￣ｔ Ｌ（β）

＝γ^2×

（１－β^2 　０　　　　　　０　　　　　　０

　０　　　　β1^2－１　　β1・β2　　　β1・β3

　０　　　　β1・β2　　　β2^2－１　　β2・β3

　０　　　　β1・β3　　　β2・β3　　　β3^2－１）

Ｘ＝Ｘμ＝（Ｘ0,Ｘ1,Ｘ2,Ｘ3）

Ｘ’＝Ｌ（β）Ｘ

(Ｘ’)†＝（ηＬ（β）Ｘ）￣ｔ

Let’s　計算！

(Ｘ’)†Ｘ’

＝Ｘ￣ｔ（ηＬ（β）Ｘ）￣ｔ Ｌ（β）Ｘ

＝Ｘ￣ｔ Ｌ（β）η　Ｌ（β）Ｘ

＝Ｘ†Ｘ

β1・β2・Ｘ1・Ｘ2＝（β1・Ｘ2）^2＝（β2・Ｘ1）^2

β2・β3・Ｘ2・Ｘ3＝（β2・Ｘ3）^2＝（β3・Ｘ2）^2

β3・β1・Ｘ3・Ｘ1＝（β3・Ｘ1）^2＝（β1・Ｘ3）^2

                                                                                                                以上

　β＝（β1，β2，β3）

　βj＝Vj／ｃ

　内積

　A・B＝Aj・Bj

　単位方向ベクトル ｎj

　ｎ1＝β／|β|

　ｎ1・ｎ2＝０＝ｎ1・ｎ3

Ｓ系　ｘ＝（ｘ1，ｘ2，ｘ3）　ｘ0

Ｓ’系　ｘ’＝（ｘ’1，ｘ’2，ｘ’3）　ｘ’0

　ｘ’0＝coshθ（ｘ0－β・ｘ）

　ｘ’ ＝coshθ（ｘ －βｘ0）

　　coshθ＝１／√（１－|β|^2）

　ｘ’＝（ｘ’・ｎ1）ｎ1＋ｘ2ｎ2＋ｘ3ｎ3

　ｘ’・ｎ1＝coshθ（ｘ・ｎ1－（β・ｎ1）ｘ0）＝coshθ（ｘ1－|β|ｘ0）

　ｘ2ｎ2＋ｘ3ｎ3＝ｘ－ｘ1ｎ1

　ｘ’ ＝coshθ（ｘ1ｎ1 －|β|ｘ0ｎ1）＋ｘ－ｘ1ｎ1

　　 ＝（coshθ－１）ｘ1ｎ1＋ｘ－（ｘ0coshθ）β

　　 ＝（coshθ－１）（ｘ・β）β／|β|^2＋ｘ－（ｘ0coshθ）β

∴

　ｘ’j＝ｘj＋（coshθ－１）（ｘ1β1＋ｘ2β2＋ｘ3β3）βj／|β|^2－（ｘ0coshθ）βj

　ｘ’0＝ｘ0coshθ－（β1・ｘ1＋β2・ｘ2＋β3・ｘ3）coshθ

００成分　　：　coshθ

０ｊ,ｊ０成分：　－βjcoshθ

ｊｋ成分：　δjk＋（coshθ－１）βjβk／|β|^2　　　j,k=1-3

０行　coshθ　　　－β1coshθ　　－β2coshθ　　－β3coshθ

１行　－β1coshθ　１＋（coshθ－１）（β1／|β|）^2　（coshθ－１）β1β2／|β|^2　　（coshθ－１）β1β3／|β|^2

２行　－β2coshθ　（coshθ－１）β2β1／|β|^2　１＋（coshθ－１）（β2／|β|）^2　　　（coshθ－１）β2β3／|β|^2

３行　－β3coshθ　（coshθ－１）β3β1／|β|^2　（coshθ－１）β3β2／|β|^2　　１＋（coshθ－１）（β3／|β|）^2　　　

ｃｆ）任意方向（β）の速度変換式

β＝（β1,β2,β3）　：相対速度Ｖ/ｃ

Ｓ系での速度ベクトル

ｖ＝（ｖ1,ｖ2,ｖ3）

Ｓ'系での速度ベクトル

ｖ’＝（ｖ’1,ｖ’2,ｖ’3）

　＝（√（１－｜β｜^2）)ｖ+(１－√（１－｜β｜^2）)（ｖ・β）β/｜β｜^2　－ｃβ

／　（１－（β・ｖ/ｃ）

ｃ＝１（自然単位系）、Ｂ＝β・ｖ＝ｖ・βとして

｜ｖ’｜^2

　＝（１－｜β｜^2）)｜ｖ｜^2

＋(１－２・√（１－｜β｜^2）＋（１－｜β｜^2）)Ｂ^2/｜β｜^2

＋｜β｜^2　

＋２・（√（１－｜β｜^2））－（１－｜β｜^2）)Ｂ^2/｜β｜^2　

－２・(１－√（１－｜β｜^2）)Ｂ

－２・（√（１－｜β｜^2）)Ｂ

　／　（１－２Ｂ＋Ｂ^2）

｜ｖ’｜^2　－１

　＝　（１－｜β｜^2）)｜ｖ｜^2　

＋　(１－（１－｜β｜^2）)Ｂ^2/｜β｜^2　－Ｂ^2　　　・・・（１）

　　＋｜β｜^2　－１

－２・(１－√（１－｜β｜^2）)Ｂ　－２・（√（１－｜β｜^2）)Ｂ　＋２Ｂ　・・・（２）

　　／　（１－Ｂ）^2

分子（１）と（２）はきれいに相殺して

　｜ｖ’｜^2　－１ ＝（１－｜β｜^2）)（｜ｖ｜^2－１）／（１－β・ｖ）^2

１≧｜β｜^2で、分母が正であるから、

　位相速度：　　｜ｖ｜^2　≧１　ならば　｜ｖ’｜^2　≧１

　群速度　：　　｜ｖ｜^2　≦１　ならば　｜ｖ’｜^2　≦１