・ローレンツ変換の場合

　　Ｐ’＝γ・｛Ｐ＋β・Ｅ／ｃ｝

　　Ｅ’ ／ｃ＝γ・｛β・Ｐ＋Ｅ／ｃ｝

Ｐ＝０とＥ＝Ｅ0 より

　　Ｐ’＝γ・β・Ｅ0／ｃ

　　　　Ｅ’=γ・Ｅ0

　　　　Ｐ＝０の場合　Ｅ0=ｍ0・ｃ^2　とおくと

       　Ｅ’=γ・ｍ0・ｃ^2＝ｍ・ｃ^2

　　　 　　　　　　　　　　 ｍ=γ・ｍ0

       　  Ｐ’=γ・β・Ｅ／ｃ＝γ・（Ｖ／ｃ）・ｍ0・ｃ　＝ｍ・Ｖ

　　　　（Ｅ’ ／ｃ）^2－（Ｐ’）^2＝（Ｅ0／ｃ）^2　＝（m0・ｃ)^2　≧０

　　　　　|Ｅ’ ／ｃ｜≧｜Ｐ’｜ 　 ∴　ｃ　≧　|Ｖ｜（等号はｍ0=０）

・反ローレンツ変換の場合

　　Ｐ’＝γ・｛β・Ｐ＋Ｅ／ｃ｝

　　Ｅ’ ／ｃ＝γ・｛Ｐ＋β・Ｅ／ｃ｝

Ｐ＝０とＥ＝Ｅ0 より

　　Ｐ’＝γ・Ｅ0／ｃ

　　　　Ｅ’=γ・β・Ｅ0

Ｐ＝０の場合　Ｅ0=ｍ0・ｃ^2　とおくと

Ｅ’=γ・β・ｍ0・ｃ^2＝ｍ・ｃ^2

　　　　　　　　　　　　　　　ｍ=γ・β・ｍ0

       　  Ｐ’=γ・Ｅ／ｃ＝γ・ｍ0・ｃ＝ｍ・ｃ／β＝ｍ・Ｖ

　　　　（Ｅ’ ／ｃ）^2－（Ｐ’）^2＝－（Ｅ0／ｃ）^2　＝－（m0・ｃ)^2　≦０

　　　　　|Ｅ’ ／ｃ｜≦｜Ｐ’｜ 　 ∴　ｃ　≦　|Ｖ｜（等号はｍ0=０）

・群速度Ｖgと位相速度Ｖp

（Ｅ’ ／ｃ）^2－（Ｐ’）^2  =　±(m0・ｃ)^2　より

　（２・Ｅ’／ｃ^2）・ｄＥ’　＝２・Ｐ’・ｄＰ’

　|ｄＥ’／ｄＰ’|＝|（Ｐ’／Ｅ’）|・ｃ^2

　|Ｖg| =|１／Ｖp|・ｃ^2　　　　∴|Ｖg|・|Ｖp|=ｃ^2

(i)ｃ　≧　|Ｖg｜の場合

　　　（ｃ^2）／|Ｖg|　≧ｃ

　　　　　　　　Ｖp　≧ｃ

(ii)ｃ　≦　|Ｖg｜の場合

　　　（ｃ^2）／|Ｖg|　≦ｃ

　　　　　　　　Ｖp　≦ｃ

・Ｓ系

　－i∂1Ψ＝Ｐ1Ψ

i∂0Ψ＝Ｐ0Ψ

・記号

　　tanhθ＝β＝Ｖ／ｃ

　　Ψ：波動関数

　　∂1＝∂／∂ｘ1

∂0＝∂／∂ｘ0

　　Ｐ0＝Ｈ／ｃ

　　Ｐ1：（ｘ１方向）運動量

・ローレンツ変換式

　　ｘ’1＝coshθ・ｘ1－sinhθ・ｘ0

ｘ’0＝coshθ・ｘ0－sinhθ・ｘ1

Ｐ1＝coshθ・Ｐ’1＋sinhθ・Ｐ’0

Ｐ0＝coshθ・Ｐ’0＋sinhθ・Ｐ’1

　∂1＝coshθ・∂’1－sinhθ・∂’0

∂0＝coshθ・∂’0－sinhθ・∂’1

・Ｓ’系

－i（coshθ・∂’1－sinhθ・∂’0）Ψ＝（coshθ・Ｐ’1＋sinhθ・Ｐ’0）Ψ　－（Ａ）

　i（coshθ・∂’0－sinhθ・∂’1）Ψ＝（coshθ・Ｐ’0＋sinhθ・Ｐ’1）Ψ　－（Ｂ）

（Ａ）×coshθ－（Ｂ）×sinhθより、　　　－i∂’1Ψ＝Ｐ’1Ψ

（Ａ）×sinhθ－（Ｂ）×coshθより、　　　  i∂’0Ψ＝Ｐ’0Ψ