・    慣性系Ｓ　位置：ｘ　時間：ｔ

慣性系Ｓ’　位置：ｘ’　時間：ｔ’

Ｖ：　ＳとＳ’との相対速度

・定義：

ｃ：真空中での光速

ｌ＝ｃ・ｔ　　ｌ’＝ｃ・ｔ’

Ｘ＝ｘ＋ｌ　   Ｔ＝ｘ－ｌ

Ｘ’＝ｘ’＋ｌ’　 Ｔ’＝ｘ’－ｌ’

・記号　（Ｚ）^2=Ｚ・Ｚ

・光速一定の原理

（i）　（ｘ’） ^2－（l’） ^2=（ｘ）^2－（l）^2 ＝０　（１）式

　　　　　 Ｘ’・Ｔ’　= Ｘ・Ｔ                                       (１Ａ)式

 (ii)    （ｘ’） ^2－（l’） ^2　=　－｛（ｘ）^2－（l）^2 ｝＝０　  （２）式

　　 Ｘ’・Ｔ’　= －Ｘ・Ｔ                                                      (２Ａ)式

（１Ａ）式を満たす１次変換（定係数Ａ－Ｄ）

　Ｘ’＝Ａ・Ｘ＋Ｂ・Ｔ

　Ｔ’＝Ｃ・Ｘ＋Ｄ・Ｔ

　Ａ・Ｃ＝０　Ｂ・Ｃ＋Ａ・Ｄ＝１　Ｂ・Ｄ＝０

　∴　Ａ＝０またはＣ＝０

　　　Ｂ＝０またはＤ＝０

(i)   Ｂ＝０　Ｃ＝０の場合

　　Ａ・Ｄ＝１　より　Ａ＝exp（δ）　Ｄ＝exp（-δ）とおく。

Ｘ’＝ｘ’＋ｌ’＝exp（δ）・Ｘ＝exp（δ）・｛ｘ＋ｌ｝

Ｔ’＝ｘ’－ｌ’＝ exp（-δ）・Ｔ＝exp（-δ）・｛ｘ－ｌ｝

　　∴ ｘ’＝cosh(δ)・ｘ＋sinh（δ）・ｌ

　　 　ｌ’ ＝sinh（δ）・ｘ＋cosh（δ）・ｌ

  ここでtanh(δ)=β、√（1-β^2）＝1/γ　とおくと

　　ｘ’＝γ・｛ｘ＋β・ｌ｝

　　ｌ’ ＝γ・｛β・ｘ＋ｌ｝

ｘ＝ｖ・ｔ　ｌ＝ｃ・ｔから相対速度を求めると

　　ｖ’＝（ｖ＋β・ｃ）／（１＋β・ｖ／ｃ）

　　ｖ＝０のとき　ｖ’＝±Ｖより　　　β　＝±Ｖ／ｃ　（Ｖ＜ｃ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１　　　　（Ｖ≧ｃ）

(ii)　  Ａ＝０　Ｄ＝０の場合

　　Ｂ・Ｃ＝１　より　Ｂ＝exp（δ）　Ｃ＝exp（-δ）とおく。

Ｘ’＝ｘ’＋ｌ’＝exp（δ）・Ｔ＝exp（δ）・｛ｘ－ｌ｝

Ｔ’＝ｘ’－ｌ’＝ exp（-δ）・Ｘ＝exp（-δ）・｛ｘ＋ｌ｝

　　∴ ｘ’＝cosh(δ)・ｘ－sinh（δ）・ｌ

　　 　ｌ’ ＝sinh（δ）・ｘ－cosh（δ）・ｌ

　δ＝０のとき、時間反転ｌ’＝－ｌを含む。ｌ’の符号を反転させると

　　　 ｌ’ ＝－sinh（δ）・ｘ＋cosh（δ）・ｌ

  ここでtanh(δ)=β、√（1-β^2）＝1/γ　とおくと

　　ｘ’＝γ・｛ｘ－β・ｌ｝

　　ｌ’ ＝γ・｛－β・ｘ＋ｌ｝

ｘ＝ｖ・ｔ　ｌ＝ｃ・ｔから相対速度を求めると

　　ｖ’＝（ｖ－β・ｃ）／（１－β・ｖ／ｃ）

　　ｖ＝０のとき　ｖ’＝ ±Ｖより　　β ＝±（逆順）Ｖ／ｃ　（Ｖ＜ｃ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ＝１　　　 　（Ｖ≧ｃ）

（２Ａ）式を満たす１次変換（定係数Ａ－Ｄ）

　Ｘ’＝Ａ・Ｘ＋Ｂ・Ｔ

　Ｔ’＝Ｃ・Ｘ＋Ｄ・Ｔ

　Ａ・Ｃ＝０　Ｂ・Ｃ＋Ａ・Ｄ＝－１　Ｂ・Ｄ＝０

　∴　Ａ＝０またはＣ＝０

　　　Ｂ＝０またはＤ＝０

(i)     Ｂ＝０　Ｃ＝０の場合

　　Ａ・Ｄ＝－１　より　Ａ＝exp（δ）　Ｄ＝exp（-δ）とおく。

Ｘ’＝ｘ’＋ｌ’＝exp（δ）・Ｘ＝exp（δ）・｛ｘ＋ｌ｝

Ｔ’＝ｘ’－ｌ’＝ －exp（-δ）・Ｔ＝－exp（-δ）・｛ｘ－ｌ｝

　　∴ ｘ’＝sinh(δ)・ｘ＋cosh（δ）・ｌ

　　 　ｌ’ ＝cosh（δ）・ｘ＋sinh（δ）・ｌ

  ここでtanh(δ)=β、√（1-β^2）＝1/γ　とおくと

　　ｘ’＝γ・｛β・ｘ＋ｌ｝

　　ｌ’ ＝γ・｛ｘ＋β・ｌ｝

ｘ＝ｖ・ｔ　ｌ＝ｃ・ｔから相対速度を求めると

　　ｖ’＝（β・ｖ＋ｃ）／（β＋ｖ／ｃ）

　　ｖ＝０のとき　ｖ’＝ ±Ｖより　　　β　＝±ｃ／Ｖ　（Ｖ≧ｃ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１　　 　　（Ｖ＜ｃ）

(ii)     Ａ＝０　Ｄ＝０の場合

　　Ｂ・Ｃ＝－１　より　Ｂ＝exp（δ）　Ｃ＝exp（-δ）とおく。

Ｘ’＝ｘ’＋ｌ’＝exp（δ）・Ｔ＝exp（δ）・｛ｘ－ｌ｝

Ｔ’＝ｘ’－ｌ’＝ －exp（-δ）・Ｘ＝－exp（-δ）・｛ｘ＋ｌ｝

　　∴ ｘ’＝sinh(δ)・ｘ－cosh（δ）・ｌ

　　 　ｌ’ ＝cosh（δ）・ｘ－sinh（δ）・ｌ

　δ＝０のとき、時空反転ｘ’＝－ｌとｌ’＝ｘを含む。ｘ’の符号を反転させると

　　　 ｘ’ ＝－sinh（δ）・ｘ＋cosh（δ）・ｌ

  ここでtanh(δ)=β、√（1-β^2）＝1/γ　とおくと

　　ｘ’＝γ・｛－β・ｘ＋ｌ｝

　　ｌ’ ＝γ・｛ｘ－β・ｌ｝

ｘ＝ｖ・ｔ　ｌ＝ｃ・ｔから相対速度を求めると

　　ｖ’＝（－β・ｖ＋ｃ）／（ｖ／ｃ－β）

　　ｖ＝０のとき　ｖ’＝ ±Ｖより　　　β　＝±（逆順）ｃ／Ｖ　（Ｖ≧ｃ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     ＝１　　　　（Ｖ＜ｃ）

・ローレンツ変換の場合

　　Ｐ’＝γ・｛Ｐ＋β・Ｅ／ｃ｝

　　Ｅ’ ／ｃ＝γ・｛β・Ｐ＋Ｅ／ｃ｝

Ｐ＝０とＥ＝Ｅ0 より

　　Ｐ’＝γ・β・Ｅ0／ｃ

　　　　Ｅ’=γ・Ｅ0

　　　　Ｐ＝０の場合　Ｅ0=ｍ0・ｃ^2　とおくと

       　Ｅ’=γ・ｍ0・ｃ^2＝ｍ・ｃ^2

　　　 　　　　　　　　　　 ｍ=γ・ｍ0

       　  Ｐ’=γ・β・Ｅ／ｃ＝γ・（Ｖ／ｃ）・ｍ0・ｃ　＝ｍ・Ｖ

　　　　（Ｅ’ ／ｃ）^2－（Ｐ’）^2＝（Ｅ0／ｃ）^2　＝（m0・ｃ)^2　≧０

　　　　　|Ｅ’ ／ｃ｜≧｜Ｐ’｜ 　 ∴　ｃ　≧　|Ｖ｜（等号はｍ0=０）

・反ローレンツ変換の場合

　　Ｐ’＝γ・｛β・Ｐ＋Ｅ／ｃ｝

　　Ｅ’ ／ｃ＝γ・｛Ｐ＋β・Ｅ／ｃ｝

Ｐ＝０とＥ＝Ｅ0 より

　　Ｐ’＝γ・Ｅ0／ｃ

　　　　Ｅ’=γ・β・Ｅ0

Ｐ＝０の場合　Ｅ0=ｍ0・ｃ^2　とおくと

Ｅ’=γ・β・ｍ0・ｃ^2＝ｍ・ｃ^2

　　　　　　　　　　　　　　　ｍ=γ・β・ｍ0

       　  Ｐ’=γ・Ｅ／ｃ＝γ・ｍ0・ｃ＝ｍ・ｃ／β＝ｍ・Ｖ

　　　　（Ｅ’ ／ｃ）^2－（Ｐ’）^2＝－（Ｅ0／ｃ）^2　＝－（m0・ｃ)^2　≦０

　　　　　|Ｅ’ ／ｃ｜≦｜Ｐ’｜ 　 ∴　ｃ　≦　|Ｖ｜（等号はｍ0=０）